חשבון אינפיניטסימלי/סדרות: הבדלים בין גרסאות בדף

מ
אין תקציר עריכה
מ (תיקון קישור)
מאין תקציר עריכה
בפרק זה נעסוק בסדרות של מספרים ממשיים בלבד. ניתן לראות סדרה של מספרים ממשיים כקבוצה סדורה של מספרים כך שכל מספר מאופיין על ידי ערכו והמקום בסדרה שבו הוא נמצא. לפני שניתן את ההגדרה המדוייקת נציג מספר דוגמאות לסדרות:
 
* <math>\ 1, 4, 7, 1, 3</math> - זוהי סדרה בת חמישה איברים. האיבר הראשון בה הוא <math>\ 1</math>, השני <math>\ 4</math> וכן הלאה. נשים לב כי האיבר הרביעי גם הוא <math>\ 1</math>, כלומר אין מניעה שאותו מספר יופיע כמה פעמים בתוך סדרה.
* <math>\ 1, 3, 5, 7, 9, 11</math> - זוהי '''סדרה חשבונית''' בת שישה איברים. השם "סדרה חשבונית" בא לציין את העובדה כי היא בעלת התכונה שההפרש בין כל מספר לקודמו זהה.
* <math>\ 5, 25, 125</math> - זוהי '''סדרה הנדסית''' בת שלושה איברים. השם "סדרה הנדסית" בא לציין את העובדה כי היא בעלת התכונה שהמנה של כל מספר המחולק בקודמו זהה.
* <math>\ 1, 1, 2, 3, 5, 8,\dots</math> - זוהי סדרה הנקראת '''סדרת פיבונאצ'י''' והיא בעלת התכונה שכל איבר בה החל מהמקום השלישי הוא סכום שני האיברים שקדמו לו. שלוש הנקודות שבסוף כתיבת הסדרה מציינות שבסדרה אינסוף איברים'.
* <math>\ 1, 1,1,1,1,\dots</math> - זוהי סדרה אינסופית קבועה שכל איבריה שווים ל- <math>\ 1</math>.
 
==תיאור פורמלי==
סדרה היא '''פונקציה''' מהמספרים הטבעיים (או קבוצה חלקית שלהם) אל המספרים הממשיים. היא מתאימה לכל מספר טבעי שמייצג מקום בסדרה את המספר הממשי שנמצא באותו מקום.
 
*למשל, את הסדרה מדוגמה מספר 1 ניתן להציג בתור הפונקציה <math>\ f:\left\{1,2,3,4,5\right\} \to \mathbb{R}</math> המקיימת <math>\ f(1)=1,f(2)=4,f(3)=7,f(4)=1,f(5)=3</math>.
 
*את הסדרה מדוגמה מספר 5 ניתן להציג בתור הפונקציה <math>\ f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}</math> המקיימת <math>\ f(n)=1</math> לכל <math>\ n \in \mathbb{N}</math>.
 
ישנן מספר דרכים שונות לתאר סדרה:
#הדרך הבסיסית לתאר סדרה היא באמצעות כתיבת אבריה, בדומה למה שעשינו בדוגמאות למעלה. כאשר בסדרה מספר רב של איברים לרוב כותבים רק חלק מהם, כך שניתן להבין מהאיברים המוצגים את צורתם של שאר האיברים. בדוגמה 5 חוזרים על המספר <math>\ 1</math> מספר רב של פעמים מבלי שיופיע אף מספר אחר, כך שניתן להניח כי הכוונה היא שכל אברי הסדרה הם <math>\ 1</math>. בדוגמה 4 ניתן לראות שכל איבר הוא סכום של שני הקודמים לו ולכן ניתן להבין כי גם המשך הסדרה יענה לכלל זה. לשיטה זו מספר חסרונות ברורים:
##לא ברור כלל שכל הקוראים יהיו מסוגלים להבין את הכלל המנחה של הסדרה מהאיברים שמוצגים.
##גם כאשר ניתן להסיק את הכלל המנחה, אין לנו שום דרך מיידית לדעת את ערכו של מספר הנמצא במקום שרירותי בסדרה.
#דרך נוספת לתאר סדרה של מספרים היא באמצעות נוסחה כללית, המתארת את הערך של האיבר במקום <math>\ n</math> כפונקציה של <math>\ n</math>. למשל, לסדרה שבדוגמה 2 מתאימה הנוסחה הבאה: <math>\ a_n=1+2\cdot n</math>, כאשר <math>\ a_n</math> פירושו "האיבר במקום ה-<math>\ n</math>". לא תמיד הנוסחאות פשוטות כל כך: עבור הסדרה שבדוגמה 4 הנוסחה היא <math>\ a_n=\frac{1\sqrt5}{\sqrt{5}}\left([\left(\frac{1+\sqrt{5}sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}sqrt5}{2}\right)^n\right)]</math> וההגעה לנוסחה זו אינה מיידית. ההוכחה לנוסחה הנ"ל נמצאת [[/הוכחה לנוסחה כללית|פה]]. ישנן גם סדרות שאין להן כלל נוסחה לאיבר הכללי.
#ניתן לתאר סדרה גם באמצעות '''כלל נסיגה''' המציג כל איבר כפונקציה של חלק מהאיברים הקודמים. כל כלל נסיגה צריך גם לכלול תנאי התחלה, שהם ערכים מפורשים שניתנים לאיברים הראשונים בסדרה. למשל, עבור הסדרה שבדוגמה 4 קיימים תנאי ההתחלה <math>\ a_1=1,a_2=1</math> וכלל הנסיגה <math>\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}</math> לכל <math>\ n \ge 3</math>.
 
כאשר רוצים לתאר סדרה באופן כללי מבלי לייחס ערך ספציפי לאיבריה, נהוג לכתוב אותה כך:
 
<math>\ \left\{a_n\right\}_{n=1}^{N}</math>
 
משמעות הסימון הזה היא שהסדרה היא הקבוצה של האיברים <math>\ a_1,a_2,\dots,a_n</math> המסמנים את אברי הסדרה.
 
כאשר אנו רוצים לתאר כך סדרה אינסופית נהוג לכתוב:
 
<math>\ \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math>
 
==סדרות חשבוניות והנדסיות==
נחזור כאן על שני סוגים בסיסיים של סדרות, שייתכן וכבר מוכרות לכם מבית הספר: סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות.
===סדרה חשבונית===
סדרה חשבונית היא סדרה שההפרש בין כל שני איברים סמוכים בה קבוע, כלומר זוהי סדרה <math>\ \left\{a_n\right\}_{n=1}^{N}</math> כך ש-<math>\ a_n-a_{n-1}=d</math> לכל <math>\ n>1</math>, כאשר <math>\ d</math> הוא מספר קבוע המכונה '''הפרש הסדרה'''.
 
סדרה חשבונית נקבעת לחלוטין על פי האיבר הראשון שלה <math>\ a_1</math> וערכו של <math>\ d</math>. פירוש הדבר הוא שאם אנחנו יודעים את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה, אנחנו יודעים מה יהיה ערכו של כל אחד מאברי הסדרה. נראה זאת:
 
אם <math>\ a_1</math> הוא האיבר הראשון אז מכיוון ש-<math>\ a_2-a_1=d</math> מתקיים <math>\ a_2=a_1+d</math>. בצורה דומה <math>\ a_3=a_2+d=a_1+2d</math>. באופן כללי מתקיים <math>\ a_n=a_1+(n-1)d</math>. כתרגיל נסו להוכיח זאת באינדוקציה.
 
לעתים קרובות מתעניינים בסכום <math>\ n</math> האיברים הראשונים בסדרה, אותו מסמנים <math>\ S_n</math>. נראה כיצד מוצאים את הנוסחה לערכו של סכום זה:
 
אנו רוצים למצוא את <math>\ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n</math>. על פי הנוסחה לאיבר הכללי נקבל:
 
<math>\ S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots+(a_1+(n-1)d)=n\cdot a_1+d(1+2+\dots+(n-1))</math>.
 
נותר לנו לחשב את ערך הסכום <math>\ 1+2+\dots+n-1</math>. ניתן להוכיח באינדוקציה כי סכום זה הוא <math>\ \frac{(n-1)n}{2}</math>. נציג את הרעיון שמאחורי הפתרון.
 
אנקדוטה מספרת על כך שהמתמטיקאי המפורסם '''קרל פרידריך גאוס''' גילה את הפתרון לבעיה זו בגיל 7, כאשר המורה בבית הספר שלו נתן לתלמידים לסכום את כל המספרים מ-1 עד 100 במטרה להעסיק אותם שעה ארוכה, וגאוס פתר את התרגיל כמעט מיידמיד. גאוס הבחין כי הסכום של האיבר הראשון והאחרון הוא 101, הסכום של האיבר השני והלפני אחרון גם כן 101 וכן הלאה - ובסך הכל קיימים 50 זוגות שכאלו, ולכן הסכום הכולל הוא <math>\ 50\cdot 101=5050</math>. באופן כללי כאשר יש לנו <math>\ n-1</math> מספרים ישנם <math>\ \frac{n-1}{2}</math> זוגות (במקרה שבו מספר האיברים אי -זוגי יהיה לנו "חצי זוג" אחד) שערך כל אחד מהם הוא <math>\ n</math> (סכום האיבר הראשון והאחרון).
 
אם נציב את ערך הסכום שמצאנו במשוואה שהגענו אליה, נקבל את הנוסחה הכללית:
 
*<math>\ S_n=n\cdot a_1+d\frac{d(n-1)n}{2}=n\left(a_1+d\frac{d(n-1)}{2}\right)</math>
 
שיטתו של גאוס עובדת גם במקרה זה, ולכן דרך אחרת להצגת הנוסחה היא באמצעות האיבר הראשון והאחרון:
 
*<math>\ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}</math>
 
נסו להוכיח כי שתי הנוסחאות זהות.
 
===סדרה הנדסית===
סדרה הנדסית היא סדרה שהמנה של כל שני איברים סמוכים בה זהה. כלומר זוהי סדרה <math>\ \left\{a_n\right\}_{n=1}^{N}</math> כך ש-<math>\ \frac{a_n}{a_{n-1}}=q</math> לכל <math>\ n > 1</math>, כאשר <math>\ q</math> הוא מספר קבוע המכונה '''מנת הסדרה'''.
 
בדומה לסדרה חשבונית, גם סדרה הנדסית נקבעת לחלוטין על ידי האיבר הראשון ועל ידי מנת הסדרה. ניתן להוכיח מיידית באינדוקציה כי <math>\ a_n=a_1q^{n-1}</math>.
 
נראה כיצד ניתן למצוא את סכומה של סדרה הנדסית:
 
<math>\ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\dots+a_1q^{n-1}=a_1(1+q+q^2+\dots+q^{n-1}</math>.
 
נותר לראות מהו ערך הסכום <math>\ (q^{n-1}+\dots+q+1</math>.
 
כאשר <math>\ q=1</math> ברור כי ערך הסכום הוא <math>\ n</math>. במקרה זה סכום הסדרה כולה הוא <math>\ n \cdot a_1</math>. זוהי סדרה "טריוויאלית" במובן זה שכל האיברים בה זהים.
 
אם <math>\ q \ne 1</math> אז נשים לב לכך שמתקיים הדבר הבא:
 
<math>\ (q^{n-1}+\dots+q+1)(q-1)=q^n-1</math> (נסו להוכיח זאת על ידי פתיחת הסוגריים) ולכן <math>\ q^{n-1}+\dots+q+1=\frac{q^n-1}{q-1}</math>.
 
קיבלנו את הסכום של סדרה הנדסית כללית:
 
*<math>\ S_n=a_1\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}</math>