|
==חוקי הגבולות==
את כל חוקי הגבולות שהוצגו קודם לכן ניתן להוכיח באמצעות ההגדרה המדויקת של הגבול. נוכיח כמה מהם בדרך זו.
===חוקים בסיסיים===
====הגבול של קבוע====
{{משפט|שם = הגבול של פונקציה קבועה|
תוכן=
<math>\lim_{x \rarrto a}c = c</math>
}}
זהו חוק פשוט אך חשוב וקל להוכיחו.
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, אזי <math>\left| {f\left( x \right) - c} \right| < \varepsilon</math>. אבל כאן הפונקציה היא הקבוע <math>c</math>, לכן <math>\left| {f\left( x \right) - c} \right| = \left| {c - c} \right| = 0 < \varepsilon</math> שכן <math>\varepsilon</math> מראש גדול מאפס. לכן, החוק מתקיים תמיד, לא משנה איזה <math>\delta</math> נבחר. מ.ש.ל.
====הגבול של פונ' הזהות====
קבענו כי הגבול של פונקצית הזהות <math>I(x) = x</math> שווה ל-<math>a</math>, כאשר <math>a</math> הוא המספר אליו x שואף, כלומר: .
ep
קבענו כי הגבול של פונקצית הזהות <math>I\left( x \right) = x</math> שווה ל-<math>a</math>, כאשר <math>a</math> הוא המספר אליו x שואף, כלומר: .
{{משפט|שם = הגבול של פונ' הזהות|
תוכן=
<math>\lim_{x \rarrto a}x = a</math>
}}
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, אזי <math>\left| {I\left( x \right) - a} \right| < \varepsilon</math>. אבל כאן הפונקציה היא פונקצית הזהות <math>I\left( x \right) = x</math>, לכן <math>\left| {I\left( x \right) - a} \right| = \left| {x - a} \right|</math>. נבחר <math>\delta = \varepsilon</math> ואז <math>\left| {x - a} \right| = \left| {I\left( x \right) - a} \right| < \delta = \varepsilon</math>. מ.ש.ל.
===אריתמטיקה של גבולות===
{{משפט|שם=אריתמטיקה של גבולות סופיים|
תוכן=
נניח <math>\ f(x), g(x)</math> פונקציות המוגדרות בסביבת נקודה a ובעלות גבולות סופיים <math>\lim_{x \rarrto a}f(x) = L</math> ו- <math>\lim_{x \rarrto a}g(x) = M</math>. אז:
*<math>\lim_{x \rarrto a}[f(x)+g(x)] = L+M</math>.
*<math>\lim_{x \rarrto a}[f(x)-g(x)] = L-M</math>.
* לכל קבוע c :{{כ}} <math>\lim_{x \rarrto a}[c \timescdot f(x)] = c \timescdot L</math>.
*<math>\lim_{x \rarrto a}[f(x) \timescdot g(x)] = L \timescdot M</math>.
*אם <math>M \ne 0</math> אז: <math>\lim_{x \rarrto a} \frac{f(x) \over }{g(x)} = \frac{L \over }{M}</math>.
}}
נוכיח את המשפט הזה לחלקיו:
====סכום גבולות====
====סכום גבולות====
אמרנו כי במידה והגבולות <math>\lim_{x\rarr a}f(x)</math> ו-<math>\lim_{x\rarr a}g(x)</math> קיימים וסופיים אז גבול הסכום שלהם הוא סכום הגבולות, כלומר, <math>\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim_{x\rarr a}f(x) + \lim_{x\rarr a}g(x)</math>. אם נכתוב <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math> ו-<math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math>, נראה שעלינו להוכיח כי <math>\lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M</math>.
אמרנו כי במידה והגבולות <math>\lim_{x \to a}f(x)</math> ו- <math>\lim_{x \to a}g(x)</math> קיימים וסופיים אז גבול הסכום שלהם הוא סכום הגבולות, כלומר, <math>\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)</math>. אם נכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math> ו- <math>\lim_{x \to a}g(x) = M</math>, נראה שעלינו להוכיח כי <math>\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = L + M</math>.
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, אזי
<math>\left| {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] - \left( {L + M} \right)} \right| < \varepsilon</math>. נסדר מעט אי-שיוויוןשוויון זה ונקבל:
<div style="direction: ltr;">
<math>\leftbigg| {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] - \left( {L + M} \right)} \rightbigg| = \leftbigg| {\left[ {f\left( x \right) - L} \right] + \left[ {g\left( x \right) - M} \right]} \rightbigg| \le \leftbigg| {f\left( x \right) - L} \rightbigg| + \leftbigg| {g\left( x \right) - M} \rightbigg|</math>
</div>
במעבר השני נעשה שימוש באי-שיוויוןשוויון המשולש (<math>\ a,b \isinin \mathbb{R}</math> אז <math>\ |a+b| \le |a|+|b|</math>). אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ- <math>\frac{\varepsilon}{2}</math>, אז נקבל <math>\bigg|[f(x) + g(x)] - (L + M)\bigg| < \varepsilon</math> כדרוש. מכיוון שנתונים לנו הגבולות של <math>f(x)</math> ו- <math>g(x)</math>, אין זה בעיה להגבילם. נתון <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math>, כלומר קיים <math>\delta_1</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a | < \delta_1</math>, אז <math>\bigg|f(x) - L\bigg| < \frac{\varepsilon}{2}</math>. כמו-כן, קיים <math>\delta_2</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math>, אז <math>\bigg|g(x) - M\bigg| < \frac{\varepsilon}{2}</math>.
{2}</math>, אז נקבל <math>\left| {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] - \left( {L + M} \right)} \right| < \varepsilon</math> כדרוש. מכיוון שנתונים לנו הגבולות של <math>f(x)</math> ו-<math>g(x)</math>, אין זה בעיה להגבילם. נתון <math>\lim_{x\rarr a}f(x) = L</math>, כלומר קיים <math>\delta _1</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>, אז <math>
\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \frac{\varepsilon }
{2}</math> (<math>\frac{\varepsilon }
{2}</math> הוא כמובן חיובי כי <math>\varepsilon > 0</math>). כמו-כן, קיים <math>\delta _2</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2</math>, אז <math>
\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{\varepsilon }
{2}</math>.
נבחר <math>\delta = \min \left\{ {\delta _1delta_1 ,\delta _2 } \rightdelta_2\}</math> ואז אם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, אז מתקיים <math>0< \left| {x - a} \right| < \delta _1 delta_1</math> וכן <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2delta_2</math>. כך שמתקיים <math>\leftbigg| {f\left( x \right) - L\bigg| < \frac{\varepsilon}{2}</math> וכן <math>\rightbigg|g(x) - M\bigg| < \frac{\varepsilon }{2}</math>. לכן, מתקיים:
{2}</math> וכן <math>\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{\varepsilon }
{2}</math>. לכן, מתקיים:
<div style="direction: ltr;">
<math>\leftbigg| {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] - \left( {L + M} \right)} \rightbigg| \le \leftbigg| {f\left( x \right) - L} \rightbigg| + \leftbigg| {g\left( x \right) - M} \rightbigg| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>
{2} + \frac{\varepsilon }
{2} = \varepsilon</math>
</div>.
====מכפלת גבול בקבוע====
אמרנו כי כאשר יש גבול של פונקציה המוכפלת בקבוע, ניתן להוציא את הקבוע אל מחוץ לגבול. כלומר, <math>\lim_{x \to a}[c\cdot f(x)] = c\cdot\lim_{x \to a}f(x)</math> אם קיים הגבול <math>\lim_{x \to a}f(x)</math>. אם נכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math>, החוק אומר כי <math>\lim_{x \to a}c\cdot f(x) = cL</math>.
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math>, אזי <math>|c\cdot f(x) - c\cdot L| < \varepsilon</math>. נסדר מעט את אי-השוויון ונקבל:
אמרנו כי כאשר יש גבול של פונקציה המוכפלת בקבוע, ניתן להוציא את הקבוע אל מחוץ לגבול. כלומר, <math>\lim_{x\rarr a}[cf(x)] = c\lim_{x\rarr a}f(x)</math> אם קיים הגבול <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right)</math>. אם נכתוב <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>, החוק אומר כי <math>\lim _{x \to a} cf\left( x \right) = cL</math>.
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, אזי <math>\left| {cf\left( x \right) - cL} \right| < \varepsilon</math>. נסדר מעט את אי השיוויון ונקבל:
<div style="direction: ltr;">
<math>\leftbigg|c\cdot {cf\leftf( x \right) - cL}c\cdot L\rightbigg| = \leftbigg| {c\left[ {f\left( x \right) - L} \right]} \rightbigg| = \left| c \right|\leftcdot\bigg| {f\left( x \right) - L} \rightbigg|</math>
</div>
מכיוון שנתון <math>\lim _lim_{x \to a} f\left( x \right) = L</math>, קיים <math>\delta _1 delta_1 > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1delta_1</math> אז <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon _1varepsilon_1</math>. לכל אפסילון יש דלתא שמתאים לו. למטרותינו בהוכחה זו, ניקח <math>\varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{|c|}</math> _1(אפסילון הוא חיובי והביטוי במכנה הוא תחת ערך מוחלט) וקיים <math>\delta_1</math> שמתאים לו. נבחר <math>\delta = \delta_1</math> ואז מכיון ש-<math>0 < |x - a| < \delta</math> אז כמובן <math>0 < |x - a| < \delta_1</math>. לפיכך, מתקיים <math>\bigg|f(x) - L\bigg| < \frac{\varepsilon }{|c|}</math> וכתוצאה מכך, נקבל:
{{\left| c \right|}}</math> (אפסילון הוא חיובי והביטוי במכנה הוא תחת ערך מוחלט) וקיים <math>\delta _1</math> שמתאים לו. נבחר <math>\delta = \delta _1</math> ואז מכיוון ש-<math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta </math> אז כמובן <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>. לפיכך, מתקיים <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \frac{\varepsilon }
{{\left| c \right|}}</math> וכתוצאה מכך, נקבל:
<div style="direction: ltr;">
<math>\leftbigg|c\cdot {cf\leftf( x \right) - cL}c\cdot L\rightbigg| = \left| c \right|\leftcdot\bigg| {f\left( x \right) - L} \rightbigg| < \left| c |\right|cdot\frac{\varepsilon}{|c|} }= \varepsilon </math>
{{\left| c \right|}} = \varepsilon
</math>
</div>
====הפרש גבולות====
החוק להפרש גבולות אומר כי אם <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math> ו- <math>\lim_{x \to a}g(x) = M</math>, אז <math>\lim_{x \to a}[f(x) - g(x)] = L - M</math>.
החוק להפרש גבולות אומר כי אם <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math> ו-<math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math>, אז <math>\lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M</math>.
במקום להוכיח באמצעות ההגדרה, אנחנו יכולים להשתמש בחוק לסכום גבולות והחוק למכפלה בקבוע ולקבל הוכחה פשוטה.
<div style="direction: ltr;">
<math>{\lim _lim_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \lim _lim_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + \left( { - 1} \right)g\left( x \right)} \right] = \lim _lim_{x \to a} f\left( x \right) + \lim _lim_{x \to a} \left[ {\left( { - 1} \right)g\left( x \right)} \right] = \lim _lim_{x \to a} f\left( x \right) - \lim _lim_{x \to a} g\left( x \right) = L - M}</math>
</div>
====מכפלת גבולות====
החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע). החוק אומר כי אם <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math> וכן <math>\lim_{x \to a}g(x) = M</math>, אזי <math>\lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x) = L \cdot M</math>.
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math>, אזי <math>|f(x)g(x) - LM| < \varepsilon</math>. אנחנו רוצים לקבל ביטוי שמכיל את <math>\bigg|f(x) - L\bigg|</math> ואת <math>\bigg|g(x) - M\bigg|</math> ולכן נעשה את הדבר הבא:
החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע). החוק אומר כי אם <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L
</math> וכן <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math>, אזי <math>\lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \lim _{x \to a} f\left( x \right) \cdot \lim _{x \to a} g\left( x \right) = L \cdot M
</math>.
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, אזי <math>\left| {f\left( x \right)g\left( x \right) - LM} \right| < \varepsilon</math>. אנחנו רוצים לקבל ביטוי שמכיל את <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right|</math> ואת <math>\left| {g\left( x \right) - M} \right|</math> ולכן נעשה את הדבר הבא:
<div style="direction: ltr;">
<math>\left| {f\left( x)\cdot \right)g\left( x \right) - LM} L\rightcdot M| = \leftbigg| {f\left( x)\cdot \right)g\left( x \right) - LgL\left(cdot g(x \right) + LgL\leftcdot g( x \right) - LM}L\cdot M\rightbigg| = \leftbigg| {g\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - L} \right] + L\left[ {g\left( x \right) - M} \right]} \rightbigg| \le </math>
</div>
<div style="direction: ltr;">
<math>\leftbigg| {g\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - L} \right]} \rightbigg| + \leftbigg| {L\left[ {g\left( x \right) - M} \right]} \rightbigg| = \left| {g\left( x \right)} |\right|cdot\leftbigg| {f\left( x \right) - L} \rightbigg| + \left| L |\right|cdot\leftbigg| {g\left( x \right) - M} \rightbigg|</math>
</math>
</div>
במעבר השלישי נעשה שימוש באי-שיוויוןשוויון המשולש. נרצה שכל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מחצי אפסילון. לשם כך, נשתמש בגבולות אשר ידועים לנו.
מכיווןמכיון שנתון <math>\lim _lim_{x \to a} g\left( x \right) = M</math>, קיים מספר <math>\delta _1 delta_1 > 0</math> כך שמתקיים <math>\leftbigg| {g\left( x \right) - M} \rightbigg| < \frac{\varepsilon }{2|L|}</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_1</math>. כמו-כן, קיים מספר <math>\delta_2 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x) - M\bigg| < 1</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_2</math>. מכאן:
{{2\ { \left| L \right|} }}</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>. כמו-כן, קיים מספר <math>\delta _2 > 0</math> כך שמתקיים <math>\left| {g\left( x \right) - M} \right| < 1</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2</math>. מכאן:
<div style="direction: ltr;">
<math>\left| {g\left( x \right)} \right| = \leftbigg| {g\left( x \right) - M + M} \rightbigg| \le \leftbigg| {g\left( x \right) - M} \rightbigg| + \left| M \right| < 1 + \left| M \right|</math>
</div>
מכיון שנתון <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math>, קיים מספר <math>\delta_3 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|f(x) - L\bigg| < \frac{\varepsilon}{2(1 + |M|)}</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_3</math>. נקבע <math>\delta = \min\{\delta_1 ,\delta_2 ,\delta_3\}</math>. אם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז מתקיים <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_3</math>, לכן מתקיימים שלושת האי-שוויונות שמצאנו לעיל. לפיכך,
מכיון שנתון <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L
</math>, קיים מספר <math>\delta _3 > 0</math> כך שמתקיים <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \frac{\varepsilon }
{{2\left( {1 + \left| M \right|} \right)}}</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _3
</math>. נקבע <math>\delta = \min \left\{ {\delta _1 ,\delta _2 ,\delta _3 } \right\}</math>. אם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> אז מתקיים <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math> וגם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2</math> וגם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _3</math>, לכן מתקיימים שלושת האי-שיוויונות שמצאנו לעיל. לפיכך,
<div style="direction: ltr;">
<math>\bigg|f(x)\cdot g(x) - L\cdot M\bigg| \le |g(x)|\bigg|f(x) - L\bigg| + |L|\bigg|g(x) - M\bigg| < \frac{\varepsilon(1 + |M|)}{2(1 + |M|)} + \frac{\varepsilon|L|}{2|L|} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>
<math>\left| {f\left( x \right)g\left( x \right) - LM} \right| \le \left| {g\left( x \right)} \right|\left| {f\left( x \right) - L} \right| + \left| L \right|\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \left( {1 + \left| M \right|} \right)\frac{\varepsilon }
{{2\left( {1 + \left| M \right|} \right)}} + \left| L \right|\frac{\varepsilon }
{{2\ { \left| L \right|} }} < \frac{\varepsilon }
{2} + \frac{\varepsilon }
{2} = \varepsilon </math>
</div>
====מנת גבולות====
החוק למנת גבולות אומר כי אם הגבול <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math>, הגבול <math>\lim_{x \to a}g(x) = M</math> ו- <math>M \ne 0</math>, אזי <math>\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} = \frac{L}{M}</math>.
''הוכחה'': ראשית נראה כי <math>\lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}</math> (אם נראה זאת, שימוש בחוק למכפלת גבולות יסיים את העבודה). כדי לעשות זאת, עלינו להראות כי בהינתן <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז <math>\left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{M}\right| < \varepsilon</math>. על-ידי מכנה משותף, נקבל:
החוק למנת גבולות אומר כי אם הגבול <math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>, הגבול <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math> ו-<math>M \ne 0</math>, אזי <math>\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}
{{g\left( x \right)}} = \frac{{\lim _{x \to a} f\left( x \right)}}
{{\lim _{x \to a} g\left( x \right)}} = \frac{L}
{M}</math>.
''הוכחה'': ראשית נראה כי <math>\lim _{x \to a} \frac{1}
{{g\left( x \right)}} = \frac{1}
{M}</math> (אם נראה זאת, שימוש בחוק למכפלת גבולות יסיים את העבודה). כדי לעשות זאת, עלינו להראות כי בהינתן <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> אז <math>\left| {\frac{1}
{{g\left( x \right)}} - \frac{1}
{M}} \right| < \varepsilon
</math>. על ידי מכנה משותף, נקבל:
<div style="direction: ltr;">
<math>\left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| = \left|\frac{M-g(x)}{M\cdot g(x)}\right| = \frac{|M-g(x)|}{|M\cdot g(x)|} = \frac{|g(x) - M|}{|M\cdot g(x)|}</math>
<math>\left| {\frac{1}
{{g\left( x \right)}} - \frac{1}
{M}} \right| = \left| {\frac{{M - g\left( x \right)}}
{{Mg\left( x \right)}}} \right| = \frac{{\left| {M - g\left( x \right)} \right|}}
{{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}} = \frac{{\left| {g\left( x \right) - M} \right|}}
{{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}}</math>
</div>
את הביטוי במונה אנחנו יכולים להגביל באמצעות הגבול של g. אבל אנחנו גם צריכים לדאוג לכך שהמכנה לא יהיה קטן כאשר x בסביבת a. מכיווןמכיון שנתון <math>\lim _lim_{x \to a} g\left( x \right) = M</math> ו- <math>M \ne 0</math>, קיים מספר <math>\delta _1 delta_1 > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1delta_1</math> אז <math>\leftbigg| {g\left( x \right) - M} \rightbigg| < \frac{{\left| M \right|}{2}</math>. מכאן:
{2}</math>. מכאן:
<div style="direction: ltr;">
<math>\left| M \right| = \leftbigg| {M - g\left( x \right) + g\left( x \right)} \rightbigg| \le \leftbigg| {M - g\left( x \right)} \rightbigg| + \left| {g\left( x \right)} \right| < \frac{{\left| M \right|}{2} + |g(x)|</math>
{2} + \left| {g\left( x \right)} \right|
</math>
</div>
לכן, <math>|g(x)| > |M| - \frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_1</math>. לכן, עבור ערכים אלו של x, מתקיים:
לכן, <math>\left| {g\left( x \right)} \right| > \left| M \right| - \frac{{\left| M \right|}}
{2} = \frac{{\left| M \right|}}
{2}</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>. לכן, עבור ערכים אלו של x, מתקיים:
<div style="direction: ltr;">
<math>\frac{1}{|M\cdot g(x)|} = \frac{1}{|M|\cdot|g(x)|} < \frac{1}{|M|} \cdot \frac{2}{|M|} = \frac{2}{M^2}</math>
<math>\frac{1}
{{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}} = \frac{1}
{{\left| M \right|\left| {g\left( x \right)} \right|}} < \frac{1}
{{\left| M \right|}} \cdot \frac{2}
{{\left| M \right|}} = \frac{2}
{{M^2 }}
</math>
</div>
כמו-כן, קיים מספר <math>\delta _2 delta_2 > 0</math> כך שמתקיים <math>\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{{M^2 }{2}\varepsilon</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta _2</math>. נבחר <math>\delta = \min\{\delta_1 ,\delta_2\}</math> ואז אם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math>, לפיכך מתקיים:
{2}\varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2</math>. נבחר <math>\delta = \min \left\{ {\delta _1 ,\delta _2 } \right\}</math> ואז אם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> אז <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math> וגם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2</math>, לפיכך מתקיים:
<div style="direction: ltr;">
<math>\left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{M}\right| = \frac{|g(x) - M|}{|M\cdot g(x)|} < \frac{2}{M^2}\frac{M^2}{2}\varepsilon = \varepsilon</math>
<math>\left| {\frac{1}
{{g\left( x \right)}} - \frac{1}
{M}} \right| = \frac{{\left| {g\left( x \right) - M} \right|}}
{{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}} < \frac{2}
{{M^2 }}\frac{{M^2 }}
{2}\varepsilon = \varepsilon</math>
</div>
הוכחנו <math>\lim _lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}</math>. כעת נשתמש בחוק למכפלת גבולות ונקבל:
{{g\left( x \right)}} = \frac{1}
{M}</math>. כעת נשתמש בחוק למכפלת גבולות ונקבל:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\left[f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}\right] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)} = L\cdot \frac{1}{M} = \frac{L}{M}</math>
<math>\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}
{{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \cdot \frac{1}
{{g\left( x \right)}}} \right] = \lim _{x \to a} f\left( x \right) \cdot \lim _{x \to a} \frac{1}
{{g\left( x \right)}} = L \cdot \frac{1}
{M} = \frac{L}
{M}</math>
</div>
מ.ש.ל.
==משפטים מתקדמים==
===מונוטוניות של גבולות===
{{משפט|שם=מונוטוניות של גבולות|
תוכן=
אם <math>f\left( x \right) \le g\left( x \right)</math> לכל x בקטע פתוח כלשהו המכיל את a (מלבד אולי ב-a עצמו) ואם <math>\lim _lim_{x \to a} f\left(x) = L</math> וגם <math>\lim_{x \rightto a}g(x) = M</math>, אזי <math>L \le M</math>.
</math> וגם <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M</math>, אזי <math>L \le M</math>.
}}
''הוכחה'': נוכיח בדרך השלילה. נניח כי <math>L > M</math>.
החוק להפרש גבולות אומר כי <math>\lim_{x \to a}[g(x) - f(x)] = M - L</math> לכן, לכל <math>\varepsilon > 0</math>, קיים <math>\delta > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|[g(x) - f(x)] - (M - L)\bigg| < \varepsilon</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta</math>. ניקח, למטרותינו בהוכחה זו, <math>\varepsilon = L - M</math> (שימו לב כי <math>L - M > 0</math> לפי ההנחה שלנו) וקיים עבורו <math>\delta > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|[g(x) - f(x)] - (M - L)\bigg| < L - M</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta</math>.
החוק להפרש גבולות אומר כי <math>\lim _{x \to a} \left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] = M - L
</math> לכן, לכל <math>\varepsilon > 0</math>, קיים <math>\delta > 0</math> כך שמתקיים <math>\left| {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] - \left( {M - L} \right)} \right| < \varepsilon
</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>. ניקח, למטרותינו בהוכחה זו, <math>\varepsilon = L - M</math> (שימו לב כי <math>
L - M > 0</math> לפי ההנחה שלנו) וקיים עבורו <math>\delta > 0</math> כך שמתקיים <math>\left| {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] - \left( {M - L} \right)} \right| < L - M
</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>.
עבור כל מספר <math>a</math> שהוא, מתקיים <math>|a| \ge a</math>, לכן כאשר <math>0 < |x - a| < \delta</math>, מתקיים <math>[g(x) - f(x)] - (M - L) < L - M</math>. מהעברת אגפים נקבל <math>g(x) < f(x)</math> (כאשר <math>0 < |x - a| < \delta</math>).
הדבר עומד בסתירה לנתון <math>f(x) \le g(x)</math> ולכן ההנחה שלנו <math>L > M</math> היא שגויה. האפשרות היחידה שנותרה היא <math>L \le M</math>. מ.ש.ל.
עבור כל מספר <math>a</math> שהוא, מתקיים <math>a \le \left| a \right|</math>, לכן כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>, מתקיים <math>\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] - \left( {M - L} \right) < L - M</math>. מהעברת אגפים נקבל <math>g\left( x \right) < f\left( x \right)</math> (כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>).
הדבר עומד בסתירה לנתון <math>f\left( x \right) \le g\left( x \right)</math> ולכן ההנחה שלנו <math>L > M</math> היא שגויה. האפשרות היחידה שנותרה היא <math>L \le M</math> שזה מה שרצינו. מ.ש.ל.
===כלל הסנדוויץ'===
ניזכר בכלל הסנדוויץ'. הכלל אומר:
{{משפט|שם=כלל הסנדוויץ'|
תוכן=
אם <math>\ h(x) , g(x) , f(x) </math> הן פונקציות המקיימות:
:<math>\ h(x) \le f(x) \le g(x)</math> וכן <math>\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L</math>
אז הגבול של <math>\ f</math> בנקודה <math>\ a</math> קיים וערכו <math> \lim_{x \to a} f(x) = L </math>
}}
למרות שמדובר בכלל רב עוצמה, ההוכחה שלו היא פשוטה ואלגנטית.
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math>. מכיווןמכיון שנתון <math>\lim _lim_{x \to a} g\left( x \right) = L</math>, קיים מספר <math>\delta_1 > 0</math> כך שמתקיים <math>\deltabigg|g(x) _1- L\bigg| < \varepsilon</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_1</math>. כלומר, <math>L - \varepsilon < g(x) < L + \varepsilon</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_1</math>.
</math> כך שמתקיים <math>\left| {g\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>. כלומר, <math>L - \varepsilon < g\left( x \right) < L + \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>.
מכיון שנתון <math>\lim_{x \to a}h(x) = L</math>, קיים מספר <math>\delta_2 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|h(x) - L\bigg| < \varepsilon</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_2</math>. כלומר, <math>L - \varepsilon < h(x) < L + \varepsilon</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_1</math>.
<br />
<br />
נבחר <math>\delta = \min\{\delta_1 ,\delta_2\}</math>. אם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math>, לפיכך:
מכיוון שנתון <math>\lim _{x \to a} h\left( x \right) = L</math>, קיים מספר <math>\delta _2 > 0
</math> כך שמתקיים <math>\left| {h\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2</math>. כלומר, <math>L - \varepsilon < h\left( x \right) < L + \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1</math>.
<br />
<br />
נבחר <math>\delta = \min \left\{ {\delta _1 ,\delta _2 } \right\}</math>. אם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> אז <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1 </math> וגם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2 </math>, לפיכך:
<div style="direction: ltr;">
<math>L - \varepsilon < h\left( x \right) \le f\left( x \right) \le g\left( x \right) < L + \varepsilon</math>
</div>
<div style="direction: ltr;">
<math>L - \varepsilon < f\left( x \right) < L + \varepsilon</math>
</div>
לפיכך, <math>\leftbigg| {f\left( x \right) - L} \rightbigg| < \varepsilon</math> כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math>. לכן, <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math>. מ.ש.ל.
<math>\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L</math>. מ.ש.ל.
====שימושים לכלל הסנדוויץ'====
המשפט הבא הינוהנו משפט חשוב מאוד, אשר הוכחתו קלה בעזרת כלל הסנדוויץ':
{{משפט|שם=פונקציה אפסה מוכפלת בחסומה|
תוכן=
תהינה <math>\ f(x),g(x)</math> פונקציות המוגדרות בקטע המכיל נקודה a, אך לא בהכרח בנקודה, כך ש- <math>\lim_{x \to a} f(x) = 0</math>, וכן <math>\ g(x)</math> '''חסומה''' בקטע. אז קיים הגבול <math>\lim_{x \to a} [f(x) \timescdot g(x)]</math> והוא שווה ל- <math>0</math>.
}}
''הוכחה:'' <math>\ g(x)</math> חסומה בקטע, נניח ע"י חסם M כך ש- <math>\ -M \le g(X) \le M</math>. לכן <math>-M \timescdot f(x) \le g(x) \timescdot f(x) \le M \timescdot f(x)</math>.<br />
מקיום הגבול <math>\lim_{x \to a} f(x) = 0</math> אנו מסיקים בעזרת האריתמטיקה של הגבולות כי <math>\lim_{x \to a} [M \times f(x)] = 0</math> ו- <math>\lim_{x \to a} [-M \times f(x)] = 0</math>.<br />
מקיום הגבול <math>\lim_{x \to a}f(x) = 0</math> אנו מסיקים בעזרת האריתמטיקה של הגבולות כי <math>\lim_{x \to a}[M \cdot f(x)] = 0</math> ו- <math>\lim_{x \to a}[-M \cdot f(x)] = 0</math>.
ונקבל ע"פ כלל הסנדוויץ' <math>\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = 0</math>. מש"ל.<br />
ונקבל ע"פ כלל הסנדוויץ' <math>\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = 0</math>. מש"ל.
שימו לב שעל <math>g(x)</math> אנו יודעים רק שהיא חסומה, אך אינה בהכרח בעלת גבול בנקודה, ולמעשה היא גם לא חייבת להיות בעלת גבולות חד-צדדיים.
''דוגמא:'' הוכח כי קיים הגבול <math>\lim_{x \to 0}x\cdot \sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>, ומצא את ערכו.
נסמן <math>f(x)=x, g(x)= \sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>.
שימו לב שעל <math>\ g(x)</math> אנו יודעים רק שהיא חסומה, אך אינה בהכרח בעלת גבול בנקודה, ולמעשה היא גם לא חייבת להיות בעלת גבולות חד-צדדיים. <br />
ע"פ משפט '''"גבול של פונקציית הזהות"''' <math>\lim_{x \to 0}f(x) = 0</math>, בעוד שידוע שפונקציית הסינוס חסומה ע"י 1, ולכן נקבל כי הגבול קיים וערכו הוא 0.
''דוגמה:'' הוכח כי קיים הגבול <math>\lim_{x \to 0} x \sin({1 \over x})</math>, ומצא את ערכו.<br />
נסמן <math>\ f(x)=x, g(x)= \sin({1 \over x})</math>.<br />
ע"פ משפט '''"גבול של פונקציית הזהות"''' <math>\lim_{x \to 0} f(x) = 0</math>, בעוד שידוע שפונקציית הסינוס חסומה ע"י 1, ולכן נקבל כי הגבול קיים וערכו הוא 0.
==אריתמטיקה של גבולות אינסופיים==
<tr>
<td width = 30% align = "center">הנושא הקודם בפרק זה<br>{{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול]]</td>
<td width = 40% align="center">בחזרה לעמוד הפתיחה<br>{{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות]]</td>
</tr>
| 