חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 91:
<div style="direction: ltr;">
<math>{|f(x)\cdot g(x) - L\cdot M| = \bigg|f(x)\cdot g(x) - L\cdot g(x) + L\cdot g(x) - L\cdot M\bigg| = \bigg|g(x)[f(x) - L] + L[g(x) - M]\bigg| \le}</math>
</div>
<div style="direction: ltr;">
שורה 106:
מכיון שנתון <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math>, קיים מספר <math>\delta_3 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|f(x) - L\bigg| < \frac{\varepsilon}{2(1 + |M|)}</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_3</math>. נקבע <math>\delta = \min\{\delta_1 ,\delta_2 ,\delta_3\}</math>. אם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז מתקיים <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_3</math>, לכן מתקיימים שלושת האי-שוויונות שמצאנו לעיל. לפיכך,
<div style="direction: ltr;">
<math>{\bigg|f(x)\cdot g(x) - L\cdot M\bigg| \le |g(x)|\cdot\bigg|f(x) - L\bigg| + |L|\cdot\bigg|g(x) - M\bigg| < \frac{\varepsilon(1 + |M|)}{2(1 + |M|)} + \frac{\varepsilon|L|}{2|L|} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon}</math>
</div>
| |||