ויקיספר

חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קטעים: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות}}
נתונים <math>a,b, \in \mathbb{R}</math>, <math>a \le b</math>. אז נוכל להגדיר בעזרתם את הקטעים הבאים:
*קטע פתוח: <math>\left( a,b) \right)= \left\{x x\in \mathbb{R} | a<x<b \right\}</math>, כלומר כל ה-<math>\ x </math>-ים ב- <math>\mathbb{R}</math> (כל המספרים הממשיים המקיימים את התנאי) ה''גדולים ממש'' מ-<math>\ a </math> ו''הקטנים ממש'' מ-<math>\ b </math>.
*קטע סגור: <math>\left[ a,b \right] = \left\{x x\in \mathbb{R} | a \le x \le b \right\} </math>, כלומר כל ה-<math>\ x </math>-ים ב- <math>\mathbb{R}</math> הגדולים מ- <math>\ a </math> ''או שווים לו'' והקטנים מ- <math>\ b </math> ''או שווים לו''.
*קטעים חצי -פתוחים וחצי -סגורים:
<math>\left[ a,b \right) = \left\{ x \in \mathbb{R} |a \le x < b \right\} </math>, <math>\left( a,b \right] = \left\{x \in \mathbb{R} |a < x \le b \right\}</math>
 
*בצורה דומה נסמן ''קרניים'':
<math>\ \begin{matrix}
\left[ a,\infty \right) = \left\{x x\in \mathbb{R} |x x\ge a\ \right\} , & \left( a,\infty \right) = \left\{ x \in \mathbb{R} | x>a\ \right\} \\
\left( -\infty,b \right) = \left\{x x\in \mathbb{R} |x<b \right\}, &
\left( -\infty,b \right] = \left\{ x\in\mathbb{R} |x \le b \right\} \end{matrix}</math>.
 
בכל ההגדרות הללו, כפי שנראה בהמשך, ישנה חשיבות רבה להבחנה בין <math>\ < </math> ובין <math>\le</math>.
* דוגמאות חשובות:
<math>\left[ a,a \right] = a</math>,<math>(a,a) = \empty</math>,<math>(-\infty,\infty) = \mathbb{R}</math>.
<math>\left( a,a \right) = \empty</math>,
<math>\left( -\infty ,\infty \right) = \mathbb{R}</math>.
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
 
===למת קנטור===
משפט חשוב בנושא קטעים הוא '''למת קנטור''' (מהמילה למה, Lemma). הלמה אומרת:{{ש}}▼
 
תהי סדרה אינסופית של קטעים סגורים מהצורה <math>[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>\forall n\in\mathbb{N} : a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n</math> אזי <math>\exists c \in \mathbb{R} : \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]=\left \{ c \right \}</math>.{{ש}}▼
▲משפט חשוב בנושא קטעים הוא '''למת קנטור''' (מהמילה למה, Lemma). הלמה אומרת:{{ש}}
▲תהי סדרה אינסופית של קטעים סגורים מהצורה <math>[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>\forall n\in\mathbb{N} : a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n</math> אזי <math>\exists c \in \mathbb{R} : \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]=\left \{ c \right \}</math>.{{ש}}
כלומר, אם ניקח אינסוף קטעים סגורים המוכלים אחד בשני (ואף קטע לא שווה לקודמו), אז קיימת נקודה שנמצאת בחיתוך של כל הקטעים והיא הנקודה היחידה.
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/חשבון_אינפיניטסימלי/מושגים_בסיסיים_בתורת_הקבוצות/קטעים"