חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות}}
==הגדרה==
<u>בר -מניה</u>: קבוצה תקרא ''בת -מניה'' אם ניתן למספר את אבריה באמצעות המספרים הטבעיים. כלומר, לכל איבר בקבוצה נתאים מספר טבעי כך שאין שני איברים עם אותו מספר, ולכל מספר טבעי קיים איבר שקיבל מספר זה. נשים לב כי על -פי הגדרה זו קבוצות סופיות אינן יכולות להיות בנות -מניה, כי יש אינסוף מספרים טבעיים ולכן תמיד יהיה מספר שלא ניתן לאף אחד מאברי הקבוצה. לפעמים מרחיבים את ההגדרה ואומרים כי קבוצה בת -מניה היא קבוצה סופית או כזו שניתן למספר את איבריה בצורה שתוארה לעיל.
 
בלשון פורמלית יותר של תורת הקבוצות, קבוצה היא בת -מניה אם קיימת פונקציה חד -חד -ערכית ועל מקבוצת המספרים הטבעיים אליה.
 
הדרך הנוחה ביותר להדגים התאמה בין קבוצה למספרים הטבעיים היא על -ידי סידור אברי הקבוצה בסדרה. במקרה הזה האיבר הראשון בסדרה מותאם למספר 1, השני למספר 2 וכן הלאה.
 
ניתן לחשוב על קבוצה בת -מניה באופן הבא: ניתן לסדרה בצורה כזו כך שאם ניקח איבר בקבוצה, אז קיים בקבוצה איבר מסוייםמסוים שהוא האיבר הבא אחריו, וקיים בקבוצה איבר מסוייםמסוים שהוא האיבר הקודם לו. אם לא קיים אחד מאלה, הרי שאפשר להגיד על איבר מסוייםמסוים זה שהוא ה"אחרון" בקבוצה או ה"ראשון" בה. עם זאת, יש לשים לב כי קיימות גם קבוצות שאינן בנות -מניה וניתן לסדרן בצורה כזו, ולכן הדגמה של סידור שכזה אינה מוכיחה שקבוצה היא בת -מניה.
 
==דוגמאות==
# <math>\mathbb{N} </math> הינההנה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי: <math>\ 1,2,3,4,5,\cdots </math>.
# <math>\mathbb{Z} </math> הינההנה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי:<math>\ 0,1,-1,2,-2,\dots </math>. כאן התאמנו למקום מספר <math>\ n </math> בסדרה את המספר השלם <math>\ (-1)^n\cdot\left[\frac{n}{2}\right]</math>
# אם <math>\ A </math> ו- <math>\ B </math> הן קבוצות בנות-מניה, אז גם <math>\ A \cup B </math> הינההנה בת-מניה. נדגים זאת: אברי <math>\ A </math> מסודרים בסדרה <math>\ a_1,a_2,a_3,\dots </math> ואברי <math>\ B </math> בסדרה <math>\ b_1,b_2,b_3,\dots </math> ולכן עבור <math>\A A\cup B</math> נבנה את הסדרה <math>\ a_1,b_1,a_2,b_2,\dots </math>. כלומר, למקומות האי -זוגיים בסדרה החדשה התאמנו את אברי <math>\ A </math> ולמקומות הזוגיים את אברי <math>\ B </math>.
 
==טענות (ללא הוכחה)==
1. <math>\mathbb{Q} </math> הינההנה קבוצה בת-מניה.
: מדוע אנו זקוקים להוכחה עבור טענה זו? - משום שלא נתנו אף דוגמה להתאמה של קבוצה זו למספרים הטבעיים. </br>{{ש}}
2. <math>\mathbb{R} </math> <u> אינה </u> קבוצה בת- מניה.
:מדוע אנו זקוקים להוכחה עבור טענה זו? - משום שלא הוכחנו שלא קיימת שום התאמה של קבוצה זו למספרים הטבעיים.