חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פעולות אריתמטיות על קבוצות: הבדלים בין גרסאות בדף

נתונות הקבוצות <math>\ A </math> ו- <math>\ B </math>. אז האיחוד ביניהן יסומן כך: <math>C=A \cup B= \left\{ x|x \in A \veeor x \in B \right\}</math>, כלומר הקבוצה <math>\ C </math> מורכבת מ''כל'' האיברים בקבוצה <math>\ A </math> ו''מכל'' האיברים בקבוצה <math>\ B </math>.

*נשים לב לשימוש בכָּמַת "או": מספיק שאיבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאיבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות <math>\ A </math> או <math>\ B </math>) על -מנת להיות בקבוצה <math>\ C </math>.

*ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות: <math>A\cup B\cup C\cup\cdots</math> וכוליוכו'. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את ''כל'' האיברים של ''כל'' הקבוצות.

*אם <math>\ I </math> קבוצת אינדקסים, (למשל: קבוצה עם <math>\ n </math> אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות <math>\ A_i</math> (כלומר <math>\ A </math> עם אינדקס <math>\ i </math>) באופן הבא:

<math>A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup A_{i_3}\cup\cdots\cup A_{i_n} =\cup_{i \in I} A_i</math>.

*עבור <math>C=A \cup B</math>, מתקיים: <math>C\supseteq A</math> וגם <math>C\supseteq B</math>.

*לכל קבוצה <math>\ A </math>, מתקיים: <math>A=A\cup\empty</math>, <math>A=A\cup A</math>.

*דוגמהדוגמא: נתון <math>\ A= \left\{ 1,2,3 \right\} </math>, <math>\ B= \left\{ 2,3,4 \right\} </math>. אזי: <math>A\cup B=\left\{ 1,2,3,4 \right\}</math>.

*דוגמהדוגמא נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות: <math>\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\ -\mathbb{N}</math>, כאשר <math>-\mathbb{N}</math> פירושו: <math>-\mathbb{N}=\left\{ -1 \times n|n \in \mathbb{N}\right\}</math>.

נתונות הקבוצות <math>\ A </math> ו- <math>\ B </math>. החיתוך ביניהן יסומן כך: <math>C=A\cap B= \left\{ x|x\in A \wedgeand x\in B \right\}</math>, כלומר הקבוצה <math>\ C </math> מורכבת מהאיברים שנמצאים ''גם'' בקבוצה <math>\ A </math> ו''גם'' בקבוצה <math>\ B </math>.

*נשים לב לשימוש בכָּמַת "וגם": על איבר כלשהו להשתייך ''הן'' לקבוצה <math>\ A </math> ו''הן'' לקבוצה <math>\ B </math> על מנת להיות בקבוצה <math>\ C </math>.

*ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות: <math>A\cap B\cap C\cap \cdots</math> . ואז, הקבוצה החדשה תכיל ''רק'' את האיברים המשותפים ל''כל'' הקבוצות.

*אם <math>\ I </math> קבוצת אינדקסים, (למשל: קבוצה עם <math>\ n </math> אינדקסים), נוכל להגדיר חיתוך בין הקבוצות <math>\ A_i</math> (כלומר <math>\ A </math> עם אינדקס <math>\ i </math>) באופן הבא:

<math>\ A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3}\cap\cdots\cap A_{i_n} =\cap_{i\in I} A_i</math>.

*עבור <math>C=A \cap B</math>, מתקיים: <math>C\subseteq A</math> וגם <math>C\subseteq B</math>.

*לכל קבוצה <math>\ A </math>, מתקיים: <math>A\cap\empty =\empty</math>, <math>A \cap A=A</math>.

*דוגמהדוגמא: נתון <math>\ A=\left\{ 1,2,3 \right\} </math>, <math>\ B=\left\{ 2,3,4 \right\} </math>. אזי: <math>A \cap B=\left\{ 2,3 \right\}</math>.

לכל שתי קבוצות <math>\ A </math>, <math>\ B </math> נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא: <math>C=A-B=A\backslash B= \left\{x x\in A|x \not\in B \right\}</math> כלומר, הקבוצה <math>\ C </math> מכילה את כל איברי <math>\ A </math> ש''אינם'' נמצאים בקבוצה <math>\ B </math>.

*עבור <math>\ C=A \backslash B</math>, מתקיים: <math>C\subseteq A</math>.

*לכל קבוצה <math>\ A </math>, מתקיים: <math>A=A\backslash\empty</math>.

*דוגמהדוגמא: נתון: <math> A= \left\{ 2,3,4 \right\} </math>, <math> B= \left\{ 1,2,3 \right\} </math>. אזי: <math>A\backslash B=\left\{4\right\}</math>.

*'''''חשוב''''': לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות <math>\ \backslash </math> לבין הסימן <math>\ / </math> (שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!

*שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר '''''כן''''' משנה. כלומר, מתקיים: <math>\ A\cup B=B\cup A </math>, וכן <math>\ A\cap B=B\cap A </math>. לעומת זאת, לרוב <math>\ A\backslash B\ne B\backslash A </math>.

== שיוויוןשוויון בין קבוצות==

מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של איברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האיברים שלהן. כלומר, הביטוי "<math>\ A=B </math>" ייכתב באופן הבא: <math>x \in A \Leftrightarrow x \in B</math>.

*''דוגמהדוגמא חשובה'': נתונות הקבוצות <math>\ A= \left\{ 1,2,2 \right\} </math> ו- <math>\ B= \left\{ 1,2 \right\} </math>. אזי: <math>\ B=A </math>. (ודאו שהנכם מבינים מדוע)

*לכל קבוצה <math>\ A </math> מתקיים: <math>\ A=A </math> (תכונת הרפלקסיביות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא: <math>x \in A \Leftrightarrow x \in A</math>.

*תכונת הטרנזיטיביות: <math>\left( A=B \right) \wedgeand \left( B=C \right) \Rightarrow \left( A=C \right) </math>. תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הינההנה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".

<td width = 30% align = "center">הנושא הקודם בפרק<br>{{ש}}---</td>

<td width = 40% align="center">בחזרה לעמוד הפתיחה<br>{{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות]]</td>

<td width = 30% align="center">הנושא הבא בפרק זה: <br> {{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קטעים|קטעים]] <BR>{{ש}}
</td>