חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

לכל <math>\varepsilon > 0</math> נבחר <math>k = \max \{k_1, k_2\}</math>, ואז לכל <math>n > k</math> יתקיים -

גם המשפט הזה עלול להראות לא ברור, אך הוא משפט חשוב ביותר - ולמעשה גם פשוט ביותר. המשפט הזה בעצם אומר שאם סדרה מסוימת מתכנסת לגבול מסוים, וסדרה אחרת זהה לסדרה הראשונה החל ממקום מסוים - גם הסדרה השנייה מתכנסת לאותו גבול. או לחילופין - אם לוקחים סדרה מתכנסת, מוסיפים לה מספר סופי של איברים, מחסירים ממנה מספר סופי של איברים, ומשנים בה מספר סופי של איברים - זה לא ישפיע על הגבול שלה. הסיבה שהמשפט הזה נכון היא פשוטה - בהתכנסות של סדרה אנחנו לא מסתכלים על האיברים הראשונים בסדרה, למעשה אנחנו לא מסתכלים על אף איבר בסדרה שניתן להצמיד לו מספר - אנחנו מסתכלים מה קורה לאברי הסדרה כשאנחנו מתקדמים לעבר האינסוף, ולכן שינוי שנעשה גם באיבר המיליון, המיליארד או ה[[w:גוגול|גוגול]] הוא זניח, ולא משפיע על הגבול. עם זאת יש לשים לב שמספר האיברים שאנו משנים בסדרה חייב להיות סופי, אפשר להסיר את 17 האיברים הראשונים, להחליף את האיבר ה42ה-42 ב-33 ולהוסיף במקום המיליון ואחד את המספר <math>\Pi</math> - והגבול של הסדרה לא ישתנה, אבל אם למשל נוסיף את המספר 2 אחרי כל איבר עשירי - הרי ששינינו אינסוף איברים, והמשפט כבר לא יכול לעזור לנו לחשב את הגבול של הסדרה החדשה.

<math>{|a_n - L| < \varepsilon \Rightarrow \ \implies \ \ -\varepsilon < a_n - L < \varepsilon \Rightarrow \ \implies \ \ L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon \Rightarrow \ \implies \ \ L-1 < a_n < L+1}</math>

נסתכל על קבוצות האיברים בסדרה המקיימים <math>n \le k</math> כיון ש- <math>k</math> הוא מספר נתון מדובר בקבוצה סופית, נסמן את המספר הגדול ביותר בקבוצה זו ב-<math>M</math> ואת האיבר הקטן ביותר ב- <math>m</math>.

כל אברי הסדרה המקיימים <math>n \le k</math> מקיימים <math>a_n \le M</math> ויתר אברי הסדרה מקיימים <math>a_n < L+1</math> ולכן הסדרה חסומה מלעיל על-ידי <math>\max \{M, L + 1\}</math>.

כל אברי הסדרה המקיימים <math>n \le k</math> מקיימים <math>a_n \ge m</math> ויתר אברי הסדרה מקיימים <math>a_n > L-1</math> ולכן הסדרה חסומה מלרע על-ידי <math>\min \{m, L - 1\}</math>.