חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
שורה 60:
</div>.{{ש}}
האם לפונקציה זו קיים גבול עבור x=0? אנו טוענים שלא. נראה זאת:{{ש}}
נניח בשלילה שקיים גבול L לפונקציה עבור x=0, כלומר מתקיים <math>\lim_{x \to 0}h(x) = L</math>. ע"פ ההגדרה: לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < |x - 0| = |x|< \delta</math> , אז מתקיים <math>\bigg|h(x)-L\bigg| < \varepsilon</math>.{{ש}}
כך שאם <math>0 < |x - 0| = |x|< \delta</math> , אז מתקיים <math>|h(x) - L| < \varepsilon</math>.{{ש}}
ניקח לדוגמא אם כן <math>\varepsilon = 1</math>, אשר עבורו קיים <math>\delta=\delta_0</math> מתאים.
נסמן <math>x_1 = \frac{\delta_0}{2}</math> וכן <math>x_2 = -\frac{\delta_0}{2}</math>, ומתקיים: <math>|x_1|< \delta_0</math> ולכן <math>\bigg|h(x_1) - L\bigg| = |1 - L| < 1 </math>, כלומר לאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת אגף <math>0 < L</math>.{{ש}}
אם נעשה את הדבר עם <math>x_2</math> נקבל כי <math>\bigg|h(x_2) - L\bigg| = \bigg|-1 - L\bigg| < 1</math> כלומר נקבל <math>0 > L</math>.{{ש}}
קיבלנו סתירה ולכן לא קיים גבול.{{ש}}
עם זאת, אנו מרגישים כי אם "נתקרב" לאפס רק מכיוון אחד כל פעם, נקבל גבול - אם נתקרב מהכיוון החיובי נקבל גבול <math>L^+ = 1</math>, בעוד שאם נתקרב מהכיוון השלילי נקבל גבול <math>L^- = -1</math>. נגדיר את 1 אם כן להיות "הגבול של (x){{כ}}h מימין ב-0", ואת -1 להיות "הגבול של (x){{כ}}h משמאל ב-0". ובמדויק:
שורה 70 ⟵ 69:
שם=גבול חד צדדי|
תוכן=
תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(a,b)</math>. נאמר כי הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>a</math> מימין הוא <math>L^+</math>, ונכתוב <math>\lim_{x \to a^+}f(x) = L^+</math> אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>\ 0 < x - a < \delta</math> , אז מתקיים <math>|f(x) - L^+| < \varepsilon</math>.
 
תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(b,a)</math>. נאמר כי הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>a</math> משמאל הוא <math>L^-</math>, ונכתוב <math>\lim_{x \to a^-}f(x) = L^-</math> אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>\ 0 < a - x < \delta</math> , אז מתקיים <math>|f(x) - L^-| < \varepsilon</math>.
 
כל אחד מהגבולות הנ"ל מכונה "גבול חד צדדי של f ב-a".