הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מנה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
'''משפט''': אם <math>\lim_{x \to a}
''הוכחה'': ראשית נראה כי <math>\lim_{x \to a}
<div style="direction: ltr;">
<math>\left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{M}\right| = \left|\frac{M - g(x)}{M \cdot g(x)}\right| = \frac{\bigg|
</div>
<div style="direction: ltr;">
<math>|M| = \bigg|M - g(x) + g(x)\bigg| \le \bigg|M - g(x)\bigg| + \bigg|g(x)\bigg| < \frac{|M|}{2} + |g(x)|</math>
</div>
לכן, <math>\bigg|g(x)\bigg| > |M| - \frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_1</math>. לכן, עבור ערכים אלו של x, מתקיים:
<div style="direction: ltr;">
<math>\frac{1}{\bigg|M \cdot g(x)\bigg|} = \frac{1}{|M|
</div>
כמו-כן, קיים מספר <math>\delta_2 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x) - M\bigg| < \frac{M^2}{2} \cdot \varepsilon</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_2</math>.{{ש}}
נבחר <math>\delta = \min
<div style="direction: ltr;">
<math>\left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{M}\right| = \frac{\bigg|g(x) - M\bigg|}{\bigg|M \cdot g(x)\bigg|} < \frac{2}{M^2}\frac{M^2}{2} \cdot \varepsilon = \varepsilon</math>
</div>
הוכחנו <math>\lim_{x \to a}
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim_{x \to a}
</div>
|