|
<u>טענה</u>: המספר <math>\ \sqrt{2}sqrt2</math> אינו רציונלי, כלומר <math>\sqrt2 \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}</math>.</br>{{ש}}
הוכחה: לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):
===למת עזר: אם <math>\ n^2</math> זוגי, אזי: <math>\ n </math> זוגי.===
''הוכחת הלמה'':</br>{{ש}}
מכפלת מספר זוגי במספר זוגי היא זוגית, בעוד שמכפלת מספר אי-זוגי במספר אי-זוגי היא אי-זוגית, ולכן אם מכפלת מספר בעצמו היא זוגית - המספר זוגי, ולהפך.
===הוכחת הטענה===
<u>הוכחה</u>: נניח בשלילה כי <math>\sqrt2 \sqrt{2}\in\mathbb{Q}</math>, כלומר רציונלי, ונגיע לסתירה:</br>{{ש}}
<math>\Leftarrow \Leftarrowsqrt2 \sqrt{2}\in\mathbb{Q}</math> ניתן לכתוב את <math>\sqrt{2}sqrt2</math> כשבר מצומצם (מהגדרת <math>\ \mathbb{Q}</math>), כלומר: <math>\ \sqrt{2}sqrt2 = \frac{m}{n}\ \left( * \right)</math> עבור <math>\ m,n </math> שלמים כלשהם.</br>{{ש}}
נעלה כעת את הביטוי (*) בריבוע. נקבל:
<math>\ \left( \sqrt{2} \rightsqrt2) ^2 = 2 =\left( \frac{m}{n} \right) ^2 =\frac{m^2}{n^2}</math>.
<math>\ (**)\ 2n^2 = m^2 \Leftarrow</math>
<math>\ m^2 \Leftarrow</math> מספר זוגי
<math>\ m \Leftarrow</math> מספר זוגי (לפי הלמה) <math>\ \Leftarrow</math> נוכל לכתוב: <math>\ m=2p </math> (עבור <math>p \in\mathbb{Z}</math> מסויים).</br>{{ש}}
כעת, נרשום את הביטוי האחרון (**) באופן הבא: <math>\ 2n^2 = m^2 = \left( 2p \right) ^2 = 4p^2 </math>
<math>\ \not 2 n^2 =_2\not 4 p^2 \Leftarrow</math>
<math>\ n^2 = 2p^2 \Leftarrow </math>
<math>\ n^2 \Leftarrow</math> מספר זוגי
<math>\ n \Leftarrow</math> מספר זוגי! (לפי הלמה).</br>{{ש}}
<u>''אבל''</u>: הסקנו מוקדם יותר ש- <math>\ m </math> הוא מספר זוגי, וכעת הסקנו ש- <math>\ n </math> הוא מספר זוגי, וזוהי סתירה להנחה ש- <math>\ \frac{m}{n}</math> שבר מצומצם! <math>\ \sqrt 2sqrt2 \Leftarrow</math> אינו מספר רציונלי, והטענה הוכחה. ▪
| 