פיזיקה תיכונית/מכניקה/עבודה ואנרגיה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
שורה 7:
הדרך לפתרון בעייה זו באמצעות כוחות היא מסובכת ולכן צריך עוד דרכים לפתרון בעיות, לצורך כך אנו מגדירים גדלים חדשים: עבודה ואנרגיה, אבל קודם הקדמה מתמטית קצרה.
===כפל וקטורים===
ישנם שני סוגים של כפל בין וקטורים כפל וקטורי וכפל סקלרי, הכפל הוקטורי (מסומן באמצעות איקס &<math>\times;</math>) והתוצאה מהכפלה זו היא וקטור, לא נעמוד כאן על הדרך להכפלה זו, הדרך השנייההשניה היא כפל סקלרי (מסומן בנקודה &middot;<math>\cdot</math>) והתוצאה של כפל זה היא סקלר (מספר פשוט) כפל זה נעשה כך: מכפלת גודל הוקטורים כפול קוסינוסבקוסינוס הזוית בינהםביניהם או בצורה מתמטית:
<math>\vec{ A} \cdot \vec{ B} = A|\vec A|\cdot |\vec B|\cdot cos (\alpha)</math> כאשר <math>\alpha</math> זה הזוית בין הוקטורים.
 
הסתכלות נוספת היא שכפל סקלרי הוא כפל גודל וקטור אחד בהיטל הוקטור השני עליו או בצורה מתמטית
<math>\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{ A}| \cdot |\vec{ B_A}|</math>.
 
=עבודה=
יש להבדיל בין המושג הפיזיקלי של עבודה לבין המושג היומיומי
==הגדרת עבודה==
עבודה מוגדרת כווקטורכוקטור הכוח כפל כפל סקלרי בוקטור העתק או בצורה מתמטית: <math>\vec{F} F\cdot \vec{\Delta x} = F\cdot \Delta x\cdot \cos (\alpha)</math>
מבחינה גרפית השטח הכלוא ע"י גרף כוח-מקום שווה לעבודה.
 
[[תמונה: גרף כוח מקום.svg|250px]]
 
עד עכשיו דיברנו על כוח קבוע, כשהכוח לא קבוע בגודלו (אבל קבוע בכיוןבכיוון יחסית להעתק) העבודה היא האינטגרל של הכוח כפונקציה של המקום ובצורה מתמטית:
<math>W =\cos (\alpha )\cdot \int_{ x_1}^{ x x_2}_{F\cdot 1 dx}</math> }^{כש- {<math>\alpha</math> xהיא }_{הזוית 2בין }וקטור }{העתק Fdxלוקטור } </math>הכוח.
כש <math>\alpha</math> זה הזוית בין וקטור העתק לוקטור הכוח.
בצורה גרפית העבודה היא השטח הכלוא תחת הגרף כוח-מקום
שורה 32 ⟵ 31:
* עבודה היא גודל סקלרי.
* עבודה יכולה להיות חיובית שלילית או אפס, דבר זה תלוי בזוית שבין וקטור הכח לוקטור העתק.
* יחידות העבודה הם ג'אול (ששוות מטר כפול ניוטון) והסימון הוא J (היחידות כתובות בסוגריים המרובעים): <math>W = \vec{ F} \cdot \vec{\Delta x} = [m N\cdot Nm] = [J]</math> , {{כ}} 1 גאול שוה לכוח בגודל 1 ניוטון שפועלהפועל (ומקביל) לאורך 1 מטר.
* אפשר להתייחס לעבודה של כוח בודד גם אם על הגוף פועלים עוד כוחות.
* סך העבודות של כל כוח בנפרד שווה לעבודת הכוח השקול <math>W' = W_1 + W_2 + W_3 ...+ \cdots + W_n</math> כש- '<math>W'</math> זה עבודת הכוח השקול.
 
==כוחות משמרים==
שורה 43 ⟵ 42:
=אנרגיה=
לא נתעכב על השאלה מהי בעצם אנרגיה אלא נתייחס לצדדים המעשיים שלה.
* היחידות של אנרגיה הם גם כן גאולג'אול.
* אנרגיה היא גודל סקלרי.
* על -פי חוק שימור האנרגיה לא נאבדת אנרגיה אלא היא מחליפה צורה או עוברת לגוף אחר.
 
נפרט עכשיו כמה מהסוגים של האנרגיה:
 
'''אנרגיה קנטית''' או אנרגיית תנועה מסומנת <math>E_k</math> וגודלה מוגדר כ: <math>E_k = \frac{1}{2} m\cdot v^2}{2}</math> כש- <math>m זה</math> מסת הגוף ו-v זה<math>v</math> מהירותו.
 
'''אנרגיה פוטנציאלית כובדית''' או אנרגיית הכובד מסומנת <math>U_g</math> וגודלה מוגדר כ: <math>mghm\cdot g\cdot h</math> כש-m זה<math>m</math> מסת הגוף ו- <math>g</math> זה התאוצה שלתאוצת גוף חופשי ו- <math>h</math> זה הגובה שלגובה הגוף ממישור היחוס. מישור היחוס הוא המישור ממנו מתחילים למדוד את גובה הגוף, מישור זה נקבע שרירותית ולפי הנוחות. למעשה משום שרוב החישובים שלנו עם אנרגיה זו יהיו על ההפרשים בין נקודות לא ישנה איפה נקבע את מישור היחוס.
מישור הייחוס זה המישור ממנו מתחילים למדוד את הגובה של הגוף, מישור זה נקבע שרירותית ולפי הנוחות למעשה בגלל שרוב החישובים שלנו עם אנרגייה זו יהיו על ההפרשים בין נקודות לא יהיה משנה איפה נקבע את מישור היחוס.
 
'''אנרגיה פוטנציאלית אלסטית''' או אנרגיה אלסטית מסומנת <math>U_{sp}</math> וגודלה מוגדר כ: <math>\frac{1}{2}k\cdot \Delta l^2}{2}</math> כש-k זה<math>k</math> קבוע הקפיץ ו- <math>\Delta l</math> זה המרחק מנקודת הרפיון של הקפיץ.
 
בהמשך נסביר את הסיבה לקביעת גדלים אלו כאנרגיות.
==משפט עבודה -אנרגיה==
נקח לדוגמהלדוגמא כוח (השקול) שפועל על גוף בכיוון של התנועה של הגוף, המשוואות הבאות מתארות את הפעולה של הכוח.
 
על -פי החוק השני של ניוטון: <sup><font color="#000070">(1)</font></sup> {{כ}} <math>\vec F = m \vec a</math>
 
על -פי משוואות התנועה תנועת הגוף מתוארת במשוואה הבאה: <sup><font color="#000070">(2)</font></sup> {{כ}} <math>v_t^2 = v_0^2 + 2a ( x_t - x_0)</math>
 
על -פי המשוואה הראשונה מתקיים השוויון הבא: <math>a = \frac{\vec F }{m}</math>
 
נציב את התוצאה הזו במשוואה השנייההשניה ונקבל: <math>v_t^2 = v_0^2 + 2 \left( \frac{2\vec F\cdot }{m} \right)(x_t - x_0)}{m}</math>
 
נסדר את המשוואה ונקבל: <math>\vec F\cdot (x_t - x_0) = \vec F\cdot \Delta \vec x = \frac{1m\cdot v_t^2}{2} mv_t^2 - \frac{1m\cdot v_0^2}{2} mv_0^2</math>
 
כלומר עבודת הכוח השקול שווה לשנוי באנרגייה הקינטית משוואה זו נקראת '''משפט עבודה-אנרגיה''':
<math>\vec F \cdot \Delta \vec x = \Delta E_k</math>
 
==אנרגיה מכנית ושימורה==
נדמיין לעצמנו שגוף נע מנקודה A לנקודה B בהשפעת כוח משמר כתוצאה מאותו הכוח האנרגיה הקינטית שלו משתנה, במידה מסוימת השינוי באנרגיה לא תלוי במסלול שהגוף עבר בו, אפשר לומר אם כן שיש פוטנציאל לאנרגיה קינטית בין הנקודות A ל-B (הפוטנציאל יכול להיות חיובי אם האנרגיה הקנטית עולה או שלילית אם יורדת) למעשה הפוטנציאל מוגדר תמיד בין שתי נקודות שנמצאות בהשפעת הכוח המשמר (אין אפשרות לומר שיש פוטנציאל מסויים בין שתי נקודות שמושפעות מכוח לא משמר כיוון שאנרגיית הגוף בסוף המסלול תלויה גם בדרך).
לכן אנו יכולים להגדיר גודל חדש, '''אנרגיה פוטנציאלית''' (המסומנת ב-U) כלומר כמה פוטנציאל לאנרגיה קינטית יש בנקודה מסוימת לשם נוחות אנו קובעים מישור יחוס כלומר מקום בו הגדרנו שהאנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס וכך כל נקודה בהשפעת הכוח המשמר יכולה לקבל ערך פוטנציאלי יחיד, חישוב הפוטנציאל בין שתי נקודות כלשהן נעשה ע"י חיסור ערך האנרגיה הפוטנציאלית של האחרונה מהראשונה, או בצורה מתמטית: הפוטנציאל לאנרגיה בין שתי נקודות <math>U_1 - U_2 =</math>.
* חשוב להבהיר שאנרגיה פוטנציאלית זה אנרגיה לכל דבר.
* ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית לכל כוח משמר סימן אנרגיה זו נעשה ע"י כתיבת שם הכוח באותיות תחתיות מימין ל-U.
שורה 81 ⟵ 79:
* מיקום מישור היחוס אין לו משמעות מבחינת הפוטנציאל בין נקודות ומאחר שהפרש זה הוא העיקר אנו קובעים את מיקום מישור הייחוס לפי הנוחות.
 
מהדברים שלמעלה יוצא שהפוטנציאל בין הנקודות שווה לשינוי באנרגיה הקינטית בין אותם הנקודות או בצורה מתמטית:<br />{{ש}}
<math>\Delta E_k = U_1 - U_2 = - (U_2 - U_1) = - \Delta U</math>
 
נפתח את המשוואה הזו ונקבל: <br />{{ש}}
<math>E_{k2} - E_{k1} = U_1 - U_2</math>
 
נעביר אגפים ונקבל: <br />{{ש}}
<math>E_{k1} + U_1 = E_{k2} + U_2</math>
 
ממשוואה זו יוצא שסך האנרגיה הקנטית והאנרגיות הפוטנציאליות שווה בכל נקודה לאורך המסלול שהגוף עבר בו אנרגייה זו (הקינטית פלוס הפוטנציאלית) נקראת אנרגיה מכנית (ומסומנת ב-E)
* כאשר עבודת הכוחות הלא משמרים שווה לאפס אין שינוי באנרגיה המכניתהמכאנית.
* אם יש כוח לא משמר העבודה הנעשית על ידו שווה לשינוי באנרגיה המכניתהמכאנית.
* למעשה גם כשיש כוח לא משמר האנרגיה נשמרת היא פשוט נהפכת לסוגים אחרים של אנרגיה שלא נכללים באנרגיה המכנית לדוגמהלדוגמא חיכוך הופך אנרגיה מכניתמכאנית לחום כלומר לאנרגית חום.
דברים אלו יובנו יותר עם פירוט אנרגיות פוטנציאליות ספציפיות:
 
===אנרגיה פוטנציאלית כובדית (<math>U_g</math>)===
נסביר את הסיבה לכך שבחרנו את mgh כגודל האנרגיה הפוטנציאלית כובדית.
נתבונן בתרחיש הבא: כדור בעל מסה m משוחרר ממנוחה בנפילה חופשית בלי חיכוך. נתמקד בקטע ממסלולו בין הנקודות <math>h_1</math> ל- <math>h_2</math>.
 
העבודה שכוח הכובד עשה בקטע זה שווה ל: <math>W_G = |F_G|\cos (0)|\Delta h|</math> הזווית היא אפס בגלל שכיוון הכוח וההעתק זהה.
 
* כזכור כוח הכובד שווה למסה כפול g, {{כ}} <math>F_G = mgm\cdot g</math>.
* מאחר ו- <math>h_1</math> גדול מ-<math>h_2</math> ו- <math>\Delta h</math> נמצא בערך מוחלט אפשר לעשות: <math>|\Delta h| = h_1 - h_2</math>
 
לכן העבודה שווה גם: <math>W_G = |F_G|\cdot \cos (0)| \Delta h| = mgm\cdot g\cdot (h_1 - h_2) = mgh_1m\cdot gh_1-m\cdot mgh_2gh_2 = - (mgh_2m\cdot gh_2 - mgh_1m\cdot gh_1) = - \Delta mgh = - \Delta U_G</math>
 
ומאחר ועבודה שווה לשינוי באנרגיה הקנטית מתקבל: <math>w_G = \Delta E_k = -\Delta U_G</math>