הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
טוב, זה היה טפשי |
כתיבת ההוכחה. כבר ממשיך |
||
שורה 1:
'''משפט:''' תהי <math>\!\, a_n </math> סדרה מונוטונית שואפת לאפס ותהי <math>\!\, b_n </math> סדרה שעבורה קיים מספר חיובי <math>M</math> כך שלכל <math>N</math> טבעי מתקיים <math> | \sum_{n=1}^N{b_n} | < M </math>
'''הוכחה:'''
<!--
====שלב א====
תהי <math>S_n</math> סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math>, כלומר: <math>S_n = \sum_{k=1}^n b_n</math>. אם נגדיר: <math>S_0 = 0</math>, נוכל לרשום לכל <math>n</math> טבעי:
<div style="direction: ltr;">
<math>b_n = S_n - S_{n-1}</math>
</div>
ולכן:
<div style="direction: ltr;">
<math>\sum_{n=1}^N a_n \cdot b_n = \sum_{n=1}^N a_n \cdot (S_n - S_{n-1}) = \sum_{n=1}^N a_n \cdot S_n + \sum_{n=1}^N a_n \cdot S_{n-1} = \sum_{n=1}^N a_n \cdot S_n + \sum_{n=0}^{N-1} a_{n+1} \cdot S_n</math>
</div>
וכיוון ש <math>S_0 = 0</math> :
<div style="direction: ltr;">
<math>= \sum_{n=1}^N a_n \cdot S_n + \sum_{n=1}^{N-1} a_{n+1} \cdot S_n = \sum_{n=1}^{N-1} S_n \cdot (a_n - a_{n+1}) \ \ + \ \ a_n \cdot S_n</math>
</div>
ולסיכום הגענו לנוסחה:
<div style="direction: ltr;">
<math>\sum_{n=1}^N a_n \cdot b_n = \sum_{n=1}^{N-1} S_n \cdot (a_n - a_{n+1}) \ \ + \ \ a_n \cdot S_n</math>
</div>
====שלב ב====
נניח, ללא הגבלת הכלליות, שהסדרה <math>a_n</math> היא מונוטונית יורדת וחיובית. אנו רשאים לעשות כן, שכן אם <math>a_n</math> מונוטונית עולה ושלילית, הרי הסדרה <math>-a_n</math> היא מונוטונית יורדת וחיובית, ואם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty -a_n \cdot b_n </math> מתכנס, גם הטור
<math>\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n = (-1) \cdot \sum_{n=1}^\infty -a_n \cdot b_n </math> מתכנס, כי הוא כפל בקבוע של טור מתכנס.
כעת נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty S_n \cdot (a_n - a_{n+1})</math> [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/התכנסות בהחלט גוררת התכנסות|מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס]].
נתון שסדרת הסכומים החלקיים <math>S_n</math> חסומה. יהי <math>M</math> חסם שלה, כלומר <math>\forall n \in \N : |S_n| \le M </math>.
אז לכל <math>N</math> טבעי מתקיים:
<div style="direction: ltr;">
<math>\sum_{n=1}^N |S_n \cdot (a_n - a_{n+1})| = \sum_{n=1}^N |S_n| \cdot |(a_n - a_{n+1})| \le M \cdot \sum_{n=1}^N |(a_n - a_{n+1})|</math>
</div>
וכיוון ש <math>a_n</math> מונוטונית יורדת וחיובית, <math>(a_n - a_{n+1}) \ge 0</math> וכן <math>a_{n+1} \ge 0</math>, לכן:
<div style="direction: ltr;">
<math>= M \cdot \sum_{n=1}^N (a_n - a_{n+1}) = M \cdot (b_1 - b_{m+1}) \le M \cdot b_1</math>
</div>
ובזאת הוכחנו שסדרת הסכומים החלקיים של <math>|S_n \cdot (a_n - a_{n+1})|</math> היא סדרה חסומה.
סדרה זו היא גם מונוטונית עולה, כי היא סדרת סכומים חלקיים של סדרה שכל איבריה אי-שליליים.
כיוון שזו סדרה חסומה ומונוטונית עולה, היא בהכרח מתכנסת כלומר הטור <math>\sum_{n=1}^\infty S_n \cdot (a_n - a_{n+1})</math> מתכנס בהחלט ובפרט מתכנס, כלומר קיים הגבול:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim_{n \to \infty} S_n \cdot (a_n - a_{n+1})</math>
</div>
====שלב ג====-->
<!-- היות והטור <math> \sum_{n=1}^\infty b_n </math> מתכנס בהחלט, ע"פ קרטריון קושי להתכנסות טורים לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>N_b</math> כך שלכל <math> n > N_b</math> מתקיים: <math>\left| {b_{n + 1} + b_{n + 2} + ... } \right| < \varepsilon</math>.
היות והסדרה <math>\!\, a_n </math> מונוטונית ושואפת לאפס, קיים <math>N_a</math> טבעי כך שלכל <math>n > N_a</math> מתקיים <math>| a_n | < 1 </math>.
| |||