הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
כתיבת ההוכחה. כבר ממשיך |
המשך וסיום כתיבה |
||
שורה 3:
'''הוכחה:'''
====שלב א====
שורה 51:
</div>
====שלב ג====
לכל <math>n</math> טבעי, ועבור אותו <math>M</math> שהזכרנו בשלב ב, מתקיים:
<div style="direction: ltr;">
<math>a_n \cdot -M \le a_n \cdot S_n \le a_n \cdot M</math>
</div>
אבל כיוון ש <math>a_n</math> סדרה שואפת לאפס:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim_{n \to \infty} a_n \cdot -M = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot M= 0</math>
</div>
לכן לפי כלל הסנדוויץ' לסדרות, גם הסדרה <math>a_n \cdot S_n</math> מתכנסת לאפס, ובפרט מתכנסת.
====שלב ד====
נחזור לנוסחה שאליה הגענו בסוף שלב א, ונשתמש במסקנותינו משלבים ב ו-ג, ונקבל לפי אריתמטיקה של גבולות:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^N a_n \cdot b_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^{N-1} S_n \cdot (a_n - a_{n+1}) \ \ + \ \ \lim_{n \to \infty} a_n \cdot S_n</math>
</div>
כלומר הגבול משמאל קיים ושווה לסכום הגבולות מימין (שאת קיומם הוכחנו), וקיומו של גבול זה שקול להתכנסות של הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n </math>. מ.ש.ל
| |||