הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה: הבדלים בין גרסאות בדף

<math>= \sum_{n=1}^N a_n \cdot S_n + \sum_{n=1}^{N-1} a_{n+1} \cdot S_n = \sum_{n=1}^{N-1} S_n \cdot (a_n - a_{n+1}) \ \ + \ \ a_na_N \cdot S_nS_N</math>

<math>\sum_{n=1}^N a_n \cdot b_n = \sum_{n=1}^{N-1} S_n \cdot (a_n - a_{n+1}) \ \ + \ \ a_na_N \cdot S_nS_N</math>

<math>= M \cdot \sum_{n=1}^N (a_n - a_{n+1}) = M \cdot (b_1a_1 - b_a_{mN+1}) \le M \cdot b_1a_1</math>

כיוון שזו סדרה חסומה ומונוטונית עולה, היא בהכרח מתכנסת, כלומר הטור <math>\sum_{n=1}^\infty S_n \cdot (a_n - a_{n+1})</math> מתכנס בהחלט ובפרט מתכנס, כלומר קיים הגבול:

<math>\lim_{nN \to \infty} \sum_{n=1}^{N-1} S_n \cdot (a_n - a_{n+1})</math>