הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מנה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
'''משפט''': אם <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math> ו- <math>\lim_{x \to a}g(x) = M \ne 0</math>, אז <math>\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to a}f(x)}{\lim\limits_{x \to a}g(x)} = \frac{L}{M}</math>.
 
''הוכחה'': ראשית נראה כי <math>\lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}</math> (אם נראה זאת, שימוש ב[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה|חוק למכפלת גבולות]] יסיים את העבודה). כדי לעשות זאת, עלינו להראות כי בהינתן <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז <math>\left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{M}\right| < \varepsilon</math>. על-ידי מכנה משותף, נקבל: