הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מנה: הבדלים בין גרסאות בדף

'''משפט''': אם <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math> ו- <math>\lim_{x \to a}g(x) = M \ne 0</math> , אז <math>\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to a}f(x)}{\lim\limits_{x \to a}g(x)} = \frac{L}{M}</math> .

''הוכחה'': ראשית נראה כי <math>\lim_{x \to a}\frac{1}frac1{g(x)} = \frac{1}frac1{M}</math> (אם נראה זאת, שימוש ב[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה|חוק למכפלת גבולות]] יסיים את העבודה). כדי לעשות זאת, עלינו להראות כי בהינתן <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאםשלכל <math>0 < |x - a| < \delta</math> אזמתקיים <math>\left|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}frac1{M}\right| < \varepsilon</math> . על-ידי מכנה משותף, נקבל:

<math>\left|\frac{1}frac1{g(x)} - \frac{1}frac1{M}\right| = \left|\frac{M - g(x)}{M \cdot g(x)}\right| = \frac{\bigg|M - g(x)\bigg|}{\bigg|M \cdot g(x)\bigg|} = \frac{\bigg|g(x) - M\bigg|}{\bigg|M \cdot g(x)\bigg|}</math>

מכיון שנתון <math>\lim_{x \to a}g(x) = M</math> ו- <math>M \ne 0</math> , קיים מספר <math>\delta_1 > 0</math> כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> אז <math>\bigg|g(x) - M\bigg| < \frac{|M|}{2}</math> . מכאן:

<math>|M| = \bigg|M - g(x) + g(x)\bigg| \le \bigg|M - g(x)\bigg| + \bigg|g(x)\bigg| < \frac{|M|}{2} + |g(x)|</math>

לכן, <math>\bigg|g(x)\bigg| > |M| - \frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> . לכן, עבור ערכים אלו של <math>x,</math> מתקיים:

<math>\frac{1}frac1{\bigg|M \cdot g(x)\bigg|} = \frac{1}frac1{|M|\cdot \bigg|g(x)\bigg|} < \frac{1}frac1{|M|} \cdot \frac{2}frac2{|M|} = \frac{2}frac2{M^2}</math>

כמו-כן, קיים מספר <math>\delta_2 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x) - M\bigg| < \frac{M^2}{2} \cdot \varepsilon</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_2</math> .{{ש}}

נבחר <math>\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}</math> ואז אם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math> , לפיכך מתקיים:

<math>\left|\frac{1}frac1{g(x)} - \frac{1}frac1{M}\right| = \frac{\bigg|g(x) - M\bigg|}{\bigg|M \cdot g(x)\bigg|} < \frac{2}frac2{M^2}\frac{M^2}{2} \cdot \varepsilon = \varepsilon</math>

הוכחנו <math>\lim_{x \to a}\frac{1}frac1{g(x)} = \frac{1}frac1{M}</math> . כעת נשתמש בחוק למכפלת גבולות ונקבל:

<math>\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\left[f(x) \cdot \frac{1}frac1{g(x)}\right] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}\frac{1}frac1{g(x)} = L \cdot \frac{1}frac1{M} = \frac{L}{M}</math>