חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף

אמרנו כי במידה ו- <math>c</math> הוא מספר קבוע, אז גבול הקבוע שווה לקבוע, כלומר:

תוכן= <math>\lim_{x\to a}c=c</math>

''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math> . נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אזי <math>\Big|f(x) - c\Big| < \varepsilon</math> . אבל כאן הפונקציה היא הקבוע <math>c</math> , לכן <math>\Big|f(x) - c\Big| = |c - c| = 0 < \varepsilon</math> שכן <math>\varepsilon</math> מראש גדול מאפסמ- <math>0</math> . לכן, החוק מתקיים תמיד, לא משנה איזהאיזו <math>\delta</math> נבחר. מ.ש.ל.

קבענו כי הגבול של פונקצית הזהות <math>I(x) = x</math> שווה ל- <math>a</math>, כאשר <math>a</math> הוא המספר אליו <math>x</math> שואף, כלומר: .

תוכן= <math>\lim_{x\to a}x=a</math>

''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math> . נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אזי <math>|I(x) - a| < \varepsilon</math>. אבל כאן הפונקציה היא פונקצית הזהות <math>I(x) = x</math>, לכן <math>|I(x) - a| = |x - a|</math> . נבחר <math>\delta = \varepsilon</math> ואז <math>|x - a| = |I(x) - a| < \delta = \varepsilon</math> . מ.ש.ל.

נניח <math>f(x), g(x)</math> פונקציות המוגדרות בסביבת נקודה <math>a</math> ובעלות גבולות סופיים <math>\lim_{x \to a}f(x) = LL_1</math> ו- <math>\lim_{x \to a}g(x) = ML_2</math> . אז:

*<math>\lim_{x \to a}\Big[f(x)+g(x)\Big] = LL_1+ML_2</math> .

*<math>\lim_{x \to a}\Big[f(x)-g(x)\Big] = LL_1-ML_2</math> .

*לכל קבוע <math>c</math> :{{כ}} <math>\lim_{x \to a}\Big[c \cdot f(x)\Big] = c \cdot LL_1</math> .

*<math>\lim_{x \to a}\Big[f(x) \cdot g(x)\Big] = L L_1\cdot ML_2</math> .

*אם <math>M L_2\ne 0</math> אז: <math>\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{LL_1}{ML_2}</math> .

אמרנו כי במידה והגבולות <math>\lim_{x \to a}f(x)</math> ו- <math>\lim_{x \to a}g(x)</math> קיימים וסופיים אז גבול הסכום שלהם הוא סכום הגבולות, כלומר, <math>\lim_{x \to a}\Big[f(x) + g(x)\Big] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)</math> .

אם נכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x) = LL_1</math> ו- <math>\lim_{x \to a}g(x) = ML_2</math> , נראה שעלינו להוכיח כי <math>\lim_{x \to a}\Big[f(x) + g(x)\Big] = L L_1+ ML_2</math> .

''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math> . נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אזי

<math>\bigg|\Big[f(x) + g(x)\Big] - (L L_1+ ML_2)\bigg| < \varepsilon</math> . נסדר מעט אי-שוויון זה ונקבל:

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>{\bigg|\Big[f(x) + g(x)\Big] - (L L_1+ ML_2)\bigg| = \bigg|\Big[f(x) - LL_1\Big] + \Big[g(x) - ML_2\Big]\bigg| \le \bigg|f(x) - LL_1\bigg| + \bigg|g(x) - ML_2\bigg|}</math>

במעבר השני נעשה שימוש באי-שוויון המשולש ( <math>a,b \in \mathbb{R}</math> אז <math>|a+b| \le |a|+|b|</math> ). אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ- <math>\frac{\varepsilon}{2}</math> , אז נקבל <math>\bigg|\Big[f(x) + g(x)\Big] - (L + M)\bigg| < \varepsilon</math> כדרוש.{{ש}}

מכיון שנתונים לנו הגבולות של <math>f(x)</math> ו- <math>g(x)</math> , אין זו בעיה להגבילם.{{ש}}

נתון <math>\lim_{x \to a}f(x) = LL_1</math> , כלומר קיים <math>\delta_1</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a | < \delta_1</math> , אז <math>\bigg|f(x) - LL_1\bigg| < \frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}

נתון <math>\lim_{x \to a}g(x) = ML_2</math> , כלומר קיים <math>\delta_2</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math> , אז <math>\bigg|g(x) - ML_2\bigg| < \frac{\varepsilon}{2}</math> .

נבחר <math>\delta = \min\{\delta_1 ,\delta_2\}</math> ואז אם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אז מתקיים <math>0< |x - a| < \delta_1</math> וכןוגם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math>. - כך שמתקיים <math>\bigg|f(x) - LL_1\bigg| < \frac{\varepsilon}{2}</math> וכןוגם <math>\bigg|g(x) - ML_2\bigg| < \frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>\bigg|\Big[f(x) + g(x)\Big] - (L L_2+ ML_2)\bigg| \le \bigg|f(x) - L\bigg| + \bigg|g(x) - ML_2\bigg| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>

</div> .

מצאנו <math>\delta</math> מתאים. לפיכך, החוק מוכח לפי ההגדרה. מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>

אמרנו כי כאשר יש גבול של פונקציה המוכפלת בקבוע, ניתן להוציא את הקבוע אל מחוץ לגבול. כלומר, <math>\lim_{x \to a}\Big[c\cdot f(x)\Big] = c\cdot\lim_{x \to a}f(x)</math> אם קיים הגבול <math>\lim_{x \to a}f(x)</math> . אם נכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math> , החוק אומר כי <math>\lim_{x \to a}\Big[c\cdot f(x) \Big]=c\cdot cLL</math> .

''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math> . נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math>, אזי <math>\bigg|c\cdot f(x) - c\cdot L\bigg| < \varepsilon</math> . נסדר מעט את אי-השוויון ונקבל:

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>\bigg|c\cdot f(x) - c\cdot L\bigg| = \bigg|c\Big[f(x) - L\Big]\bigg| = |c|\cdot\bigg|f(x) - L\bigg|</math>

מכיווןכיון שנתון <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math> , קיים <math>\delta_1 > 0</math> כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> אז <math>\Big|f(x) - L\Big| < \varepsilon_1</math> . לכל סביבה אפסילון יש סביבה דלתא שמתאיםהמתאימה לולה. למטרותינו בהוכחה זו, ניקח <math>\varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{|c|}</math> (אפסילון הוא חיובי והביטוי במכנה הוא תחת ערך מוחלט) וקיים <math>\delta_1</math> שמתאים לו. נבחר <math>\delta = \delta_1</math> ואז מכיון ש- <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז כמובן <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> . לפיכך, מתקיים <math>\bigg|f(x) - L\bigg| < \frac{\varepsilon }{|c|}</math> וכתוצאה מכך, נקבל:

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>\bigg|c\cdot f(x) - c\cdot L\bigg| = |c|\cdot\bigg|f(x) - L\bigg| < |c|\cdot\frac{\varepsilon}{|c|} = \varepsilon </math>

לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול. מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>

החוק להפרש גבולות אומר כי אם <math>\lim_{x \to a}f(x) = LL_1</math> ו- <math>\lim_{x \to a}g(x) = ML_2</math> , אז <math>\lim_{x \to a}\Big[f(x) - g(x)\Big] = L L_1- ML_2</math> .

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>{\lim_{x \to a}\Big[f(x) - g(x)\Big] = \lim_{x \to a}\Big[f(x) + (-1)g(x)\Big] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}\Big[(-1)g(x)\Big] = \lim_{x \to a}f(x) - \lim_{x \to a}g(x) = L L_1- ML_2}</math>

המעבר השני הוא שימוש בחוק לסכום גבולות. המעבר השלישי הוא שימוש בחוק למכפלה בקבוע (1- הועבר אל מחוץ לגבול). מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>

החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע). החוק אומר כי אם <math>\lim_{x \to a}f(x) = LL_1</math> וכן <math>\lim_{x \to a}g(x) = ML_2</math> , אזי <math>\lim_{x \to a}\Big[f(x) \cdot g(x)\Big] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x) = L L_1\cdot ML_2</math> .

''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon > 0</math> . נראה שקיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אזי <math>\bigg|f(x)\cdot g(x) -L_1\cdot LML_2\bigg| < \varepsilon</math> . אנחנו רוצים לקבל ביטוי שמכיל את <math>\bigg|f(x) - LL_1\bigg|</math> ואת <math>\bigg|g(x) - ML_2\bigg|</math> ולכן נעשה את הדבר הבא:

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>{|f(x)\cdot g(x) - LL_1\cdot ML_2\bigg| = \bigg|f(x)\cdot g(x) - LL_1\cdot g(x) + LL_1\cdot g(x) - LL_1\cdot ML_2\bigg| = \bigg|g(x)\Big[f(x) - LL_1\Big] + LL_1\Big[g(x) - ML_2\Big]\bigg| \le}</math>

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>\bigg|g(x)\Big[f(x) - LL_1\Big]\bigg| + \bigg|LL_1\Big[g(x) - ML_2\Big]\bigg| = |g(x)|\cdot\bigg|f(x) - LL_1\bigg| + |LL_1|\cdot\bigg|g(x) - ML_2\bigg|</math>

מכיוןכיון שנתון <math>\lim_{x \to a}g(x) = ML_2</math> , קיים מספר <math>\delta_1 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x) - ML_2\bigg| < \frac{\varepsilon}{2|LL_1|}</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> . כמו-כן, קיים מספר <math>\delta_2 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x) - ML_2\bigg| < 1</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_2</math> . מכאן:

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>|g(x)| = \bigg|g(x) - M L_2+ ML_2\bigg| \le \bigg|g(x) - ML_2\bigg| + |ML_2| < 1 + |ML_2|</math>

מכיוןכיון שנתון <math>\lim_{x \to a}f(x) = LL_1</math> , קיים מספר <math>\delta_3 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|f(x) - LL_1\bigg| < \frac{\varepsilon}{2(1 + |ML_2|)}</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_3</math> . נקבע <math>\delta = \min\{\delta_1 ,\delta_2 ,\delta_3\}</math> . אם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז מתקיים <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_3</math> , לכן מתקיימים שלושת האי-שוויונות שמצאנו לעיל. לפיכך,

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>{\bigg|f(x)\cdot g(x) - LL_1\cdot ML_2\bigg| \le |g(x)|\cdot\bigg|f(x) - LL_1\bigg| + |LL_1|\cdot\bigg|g(x) - ML_2\bigg| < \frac{\varepsilon(1 + |ML_2|)}{2(1 + |ML_2|)} + \frac{\varepsilon|LL_1|}{2|LL_1|} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon}</math>

מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>