חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף

החוק למנת גבולות אומר כי אם הגבול <math>\lim_{x \to a}f(x) = LL_1</math> , הגבול <math>\lim_{x \to a}g(x) = ML_2</math> ו- <math>M L_2\ne 0</math>, אזי <math>\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_lim\limits_{x \to a}f(x)}{\lim_lim\limits_{x \to a}g(x)} = \frac{LL_1}{ML_2}</math> .

''הוכחה'': ראשית נראה כי <math>\lim_{x \to a}\frac{1}frac1{g(x)} = \frac{1}frac1{ML_2}</math> (אם נראה זאת, שימוש בחוק למכפלת גבולות יסיים את העבודה).

כדי לעשות זאת, עלינו להראות כי בהינתן <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>\delta > 0</math> מתאים כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז <math>\left|\frac{1}frac1{g(x)} - \fracfrac1{1}{ML_2}\right| < \varepsilon</math> . על-ידי מכנה משותף, נקבל:

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>\left|\frac{1}frac1{g(x)}-\frac{1}frac1{ML_2}\right| = \left|\frac{ML_2-g(x)}{ML_2\cdot g(x)}\right| = \frac{\Big|ML_2-g(x)\Big|}{\Big|ML_2\cdot g(x)\Big|} = \frac{\Big|g(x) - ML_2\Big|}{\Big|ML_2\cdot g(x)\Big|}</math>

את הביטוי במונה אנחנו יכולים להגביל באמצעות הגבול של <math>g(x)</math> . אבל אנחנו גם צריכים לדאוג לכך שהמכנה לא יהיה קטן כאשר x בסביבת a. מכיון שנתון <math>\lim_{x \to a}g(x) = M</math> ו-בסביבת <math>M \ne 0</math>, קיים מספר <math>\delta_1 > 0</math> כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> אז <math>\bigg|g(x) - M\bigg| < \frac{|M|}{2}</math>. מכאן:

לכן, <math>\Big|g(x)\Big| > |ML_2| - \frac{|ML_2|}{2} = \frac{|ML_2|}{2}</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> . לכן, עבור ערכים אלו של <math>x</math> , מתקיים:

<div style="directiontext-align: ltrcenter;">

<math>\frac{1}frac1{\bigg|ML_2\cdot g(x)\bigg|} = \frac{1}frac1{|ML_2|\cdot\Big|g(x)\Big|} < \frac{1}frac1{|ML_2|} \cdot \frac{2}{|ML_2|} = \frac{2}{M{L_2}^2}</math>

כמו-כן, קיים מספר <math>\delta_2 > 0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x) - ML_2\bigg| < \frac{M{L_2}^2}{2}\varepsilon</math> כאשר <math>0 < |x - a| < \delta _2</math> .

נבחר <math>\delta = \min\{\delta_1 ,\delta_2\}</math> ואז אם <math>0 < |x - a| < \delta</math> אז <math>0 < |x - a| < \delta_1</math> וגם <math>0 < |x - a| < \delta_2</math> , לפיכך מתקיים:

<math>\left|\frac{1}frac1{g(x)} - \fracfrac1{1}{ML_2}\right| = \frac{\bigg|g(x) - ML_2\bigg|}{\bigg|ML_2\cdot g(x)\bigg|} < \frac{2}{M{L_2}^2}\cdot\frac{M{L_2}^2}{2}\cdot\varepsilon = \varepsilon</math>

הוכחנו <math>\lim_{x \to a}\frac{1}frac1{g(x)} = \fracfrac1{1}{ML_2}</math> . כעת נשתמש בחוק למכפלת גבולות ונקבל:

<math>\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\left[f(x)\cdot \frac{1}frac1{g(x)}\right] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}\frac{1}frac1{g(x)} = LL_1\cdot \fracfrac1{1L_2}{M} = \frac{LL_1}{ML_2}</math>

מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>