חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף

נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math> ואז אם <math>0<|x-a|<\delta</math> אז <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> , לפיכך מתקיים:

 

<math>\left|\frac1{g(x)}-\frac1{L_2}\right|=\frac{\bigg|g(x)-L_2\bigg|}{\bigg|L_2\cdot g(x)\bigg|}<\frac{2}{{L_2}^2}\cdot\frac{{L_2}^2}{2}\cdot\varepsilon=\varepsilon</math>

</div>

הוכחנו <math>\lim_{x\to a}\frac1{g(x)}=\frac1{L_2}</math> . כעת נשתמש בחוק למכפלת גבולות ונקבל:

 

<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\left[f(x)\cdot \frac1{g(x)}\right]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}\frac1{g(x)}=L_1\cdot\frac1{L_2}= \frac{L_1}{L_2}</math>

</div>