חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול אינסופי: הבדלים בין גרסאות בדף

עד עתה עסקנו אך ורק בסדרות המתכנסות לגבול סופי, אך כפי שכבר ראינו בתחילת הפרק קיימות סדרות שאינן מתכנסות למספר מסויים - אלא הולכות וגדלות יותר ויותר. גם לסדרות כאלו נרצה להגדיר גבול, ובמקרה שהסדרה אכן הולכת וגדלה (כמו הסדרה <math>\ a_n = n</math>), ולא "מתנדנדת" למשל בין שני ערכים (כמו <math>a_n = (-1)^n</math> נגיד שהיא מתכנסת לאינסוף. אך כיון שאנחנו עוסקים בתחום מתמטי דרושה לנו הגדרה חד -משמעית שתבטיח שזה אכן המצב, ונוכל לבדוק על פיה גם סדרות מורכבות יותר, במקרה כזה הגדרה באמצעות <math>L</math> ו- <math>\varepsilon</math> לא תהיה יעילה, כי האינסוף הוא מושג - ולא מספר. ולכן הגדרת הגבול האינסופי היא שונה במעט -

תהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה של מספרים ממשיים, אם לכל <math>M \in \mathbb{R}</math> קיים <math>k</math> כל שלכל <math>n > k</math> מתקיים <math>a_n > M</math> אזי נאמר שהסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת לאינסוף, ונסמן <math>\lim_{n \to \infty}\{a_n \}= \infty</math>

תהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה של מספרים ממשיים, אם לכל <math>M \in \mathbb{R}</math> קיים <math>k</math> כל שלכל <math>n > k</math> מתקיים <math>a_n < M</math> אזי נאמר שהסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת למינוס אינסוף, ונסמן <math>\lim_{n \to \infty}\{a_n \}= -\infty</math>