חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פעולות אריתמטיות על קבוצות: הבדלים בין גרסאות בדף

נתונות הקבוצות <math>A,B</math> ו- <math>B</math>. אז האיחוד ביניהן יסומן כך: <math>C=A \cup B=\{x|x \in A \or x \in B\}</math> , כלומר הקבוצה <math>C</math> מורכבת מ''כל'' האיבריםהאברים בקבוצה <math>A</math> ו''מכל'' האיבריםהאברים בקבוצה <math>B</math> .

*נשים לב לשימוש בכָּמַת "או": מספיק שאיברשאבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאיברשאבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות <math>A</math> או <math>B</math>) על-מנת להיות בקבוצה <math>C</math> .

*ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות: <math>A\cup B\cup C\cup\cdots</math> וכו'. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את ''כל'' האיבריםהאברים של ''כל'' הקבוצות.

*אם <math>I</math> קבוצת אינדקסים, (למשל: קבוצה עם <math>n</math> אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות <math>A_i</math> (כלומר <math>A</math> עם אינדקס <math>i</math>) באופן הבא:

<math>A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup A_{i_3}\cup\cdots\cup A_{i_n} =\cup_{i \in I}A_i</math> .

*עבור <math>C=A \cup B</math> , מתקיים: <math>C\supseteq A</math> וגם <math>C\supseteq B</math> .

*לכל קבוצה <math>A</math> , מתקיים: <math>A=A\cup\empty</math>=A\ ,\ <math>A=A\cup A=A</math> .

*דוגמא: נתון <math>AB=\{1,2,3,4\}</math>\ ,\ <math>BA=\{1,2,3,4\}</math> . אזי: <math>A\cup B=\{1,2,3,4\}</math> .

*דוגמא נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות: <math>\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\ -\mathbb{N}</math> , כאשר <math>-\mathbb{N}</math> פירושו: <math>-\mathbb{N}=\{-1 \times n|n \in \mathbb{N}\}</math> .

נתונות הקבוצות <math>A</math> ו- <math>B</math>. החיתוך ביניהן יסומן כך: <math>C=A\cap B= \{x|x\in A \and x\in B\}</math>, כלומר הקבוצה <math>C</math> מורכבת מהאיבריםמהאברים שנמצאים ''גם'' בקבוצה <math>A</math> ו''גם'' בקבוצה <math>B</math> .

*נשים לב לשימוש בכָּמַת "וגם": על איבראבר כלשהו להשתייך ''הן'' לקבוצה <math>A</math> ו''הן'' לקבוצה <math>B</math> על מנת להיות בקבוצה <math>C</math> .

*ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות: <math>A\cap B\cap C\cap \cdots</math> . ואז, הקבוצה החדשה תכיל ''רק'' את האיבריםהאברים המשותפים ל''כל'' הקבוצות.

*אם <math>I</math> קבוצת אינדקסים, (למשל: קבוצה עם <math>n</math> אינדקסים), נוכל להגדיר חיתוך בין הקבוצות <math>A_i</math> (כלומר <math>A</math> עם אינדקס <math>i</math>) באופן הבא:

<math>A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3}\cap\cdots\cap A_{i_n} =\cap_{i\in I} A_i</math> .

*עבור <math>C=A \cap B</math> , מתקיים: <math>C\subseteq A</math> וגם <math>C\subseteq B</math> .

*לכל קבוצה <math>A</math>, מתקיים: <math>A\cap\empty =\empty</math>\ ,\ <math>A \cap A=A</math> .

*דוגמא: נתון <math>AB=\{1,2,3,4\}</math>\ ,\ <math>BA=\{1,2,3,4\}</math> . אזי: <math>A \cap B=\{2,3\}</math> .

לכל שתי קבוצות <math>A</math>, <math>B</math> נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא: <math>C=A-B=A\backslash B=\{x \in A|x \not\in B\}</math> כלומר, הקבוצה <math>C</math> מכילה את כל איבריאברי <math>A</math> ש''אינם'' נמצאים בקבוצה <math>B</math> .

*עבור <math>C=A \backslash B</math> , מתקיים: <math>C\subseteq A</math> .

*לכל קבוצה <math>A</math> , מתקיים: <math>A=A\backslash\empty</math> .

*דוגמא: נתון: <math>AB=\{2,3,4\}</math>\ ,\ <math>BA=\{1,2,3\}</math> . אזי: <math>A\backslash B=\{4\}</math> .

*'''''חשוב''''': לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות <math>\ \backslash</math> לבין הסימן <math>\ /</math> (שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!

*שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר '''''כן''''' משנה. כלומר, מתקיים: <math>A\cup B=B\cup A</math> , וכן <math>A\cap B=B\cap A</math> . לעומת זאת, לרוב <math>A\backslash B\ne B\backslash A</math> .

מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של איבריםאברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האיבריםהאברים שלהן. כלומר, הביטוי "<math>A=B</math>" ייכתב באופן הבא: <math>x \in A \Leftrightarrowiff x \in B</math> .

*''דוגמא חשובה'': נתונות הקבוצות <math>AB=\{1,2,2\}</math>\ ו-,\ <math>BA=\{1,2,2\}</math> . אזי: <math>B=A</math> . (ודאו שהנכם מבינים מדוע)

*לכל קבוצה <math>A</math> מתקיים: <math>A=A</math> (תכונת הרפלקסיביות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא: <math>x \in A \Leftrightarrowiff x \in A</math> .

*תכונת הטרנזיטיביות: <math>(A=B) \and (B=C) \Rightarrow (A=C)</math> . תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הנה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".

<td width = 30% align = "center">הנושא הקודם בפרק{{ש}}---</td>