|
==הגדרה==
===כללי===
''פונקציה'' הינההנה התאמה של איבריםאברים מקבוצה הנקראת "תחום הגדרת הפונקציה" (או בקיצור: תחום) לקבוצה הנקראת "תמונת הפונקציה" (או בקיצור: תמונה). במילים אחרות, ה''תחום'' הינוהנו קבוצת כל האיבריםהאברים עליהם ניתן להפעיל את הפונקציה (כלומר כל האיבריםהאברים שהפונקציה יכולה לקבל), וה''תמונה'' הינה קבוצת כל הערכים שיכולים להתקבל כתוצאה מהפעלת הפונקציה על האיבריםהאברים בתחום. אם התמונה מהווה תת-קבוצה של קבוצה גדולה אחרת, הקבוצה הגדולה יותר תקרא "טווח הפונקציה" או בקיצור "טווח". </br>
ההתאמה הינההנה ''חד -ערכית'', כלומר לכל איבראבר בתחום הגדרת הפונקציה מותאם איבראבר יחיד בקבוצת הטווח. במילים אחרות, אם נתונה פונקציה <math>\ f</math> ואיברואבר <math>\ x_0</math> בתחום הפונקציה, קיים <math>\ y_0</math> ''יחיד'' בטווח הפונקציה המותאם אליו. מסמנים זאת כך: <math>\ f\left( x_0\right) =y_0</math> .</br></br>{{ש}}
[[תמונה:P1fstt.jpg|תרשים להמחשה: תחום, טווח ותמונה]] <br>{{ש}}
===אופן הכתיבה===
נהוג לכתוב פונקציה באופן הבא:</br>{{ש}}
<math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & A & \rightarrowto & B \\ & x & \mapsto & f\left( x\right) \end{matrix}</math> , כאשר: <math>A</math> הינההנה התחום ו- <math>B</math> היא הטווח. </br>
השורה העליונה מציגה את הסימון של הפונקציה, את סימון התחום ואת סימון הטווח. השורה התחתונה נותנת את כלל ההתאמה של הפונקציה.
בתור דוגמהדוגמא, נביט בפונקציה המקבלת מספר ממשי ומעלה אותו בריבוע:
<math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{R} & \rightarrowto & \mathbb{R}^+\cup \left\{0\right\} \\ & x & \mapsto & x^2 \end{matrix}</math> ,
כאן <math>\ \mathbb{R}^+\cup\left\{0\right\}</math> מסמן את קבוצת כל המספרים הממשיים הגדולים או שווים ל- <math>0</math> (המספרים האי-שליליים).
===חלוקה למקרים===
תהא <math>\ f\left( x\right)</math> פונקציה, הפועלת בצורה שונה על מספרים מהקבוצה <math>A</math> ועל מספרים מהקבוצה <math>B</math> . אזי, נכתוב את פעולת הפונקציה באופן הבא:
<math>\ f\left( x\right) =\left\{ \begin{matrix} f_1\left( x\right) & x\in A \\ f_2\left( x\right) & x\in B \end{matrix} \right. </math> , כאשר <math>\ f_1\left( x\right) </math> היא הדרך בה פועלת <math>\ f\left( x\right) </math> על מספרים השייכים לקבוצה <math>\ A</math> , ו- <math>\ f_2\left( x\right) </math> היא הדרך בה פועלת <math>\ f\left( x\right) </math> על מספרים השייכים לקבוצה <math>\ B</math> .
דוגמה: תהא <math>\ f\left( x\right)</math> פונקציה שמעתיקה מספרים באופן הבא: אם המספר הוא חיובי או אפס<math>0</math> (מה שנקרא '''אי -שלילי''') הפונקציה מוסיפה למספר <math>5</math> , ואם הוא שלילי - היא מוסיפה לו <math>4</math> . אז נכתוב את הפונקציה כך:
<math>\ f\left( x\right) =\left\{ \begin{matrix} x+5 & x\in\mathbb{R} ^+\cup\left\{ 0\right\} \\ x+4 & x\in\mathbb{R} ^- \end{matrix} \right. </math> .
===הגדרות נוספות===
תהא <math> \ f:A\to B</math> פונקציה. ▼# יהא <math> \ y_0\in B </math> כלשהו, ונניח שקיים <math> \ x_0\in \ A </math> כך ש- <math> \ f \left( x_0 \right) =y_0</math> . במקרה זה, אומרים ש- <math> \ x_0</math> הוא '''''מקור''''' של <math> \ y_0</math> . ▼#יהא <math>y_0\in B</math> כלשהו, ונניח שקיים <math>x_0\in A</math> כך ש- <math>f(x_0)=y_0</math>. במקרה זה, אומרים ש- <math>y_0</math> היא '''''התמונה''''' של <math>x_0</math> .
* שימו לב: בגלל שהפונקציה היא חד-ערכית, לכל מקור יש תמונה אחת בלבד. לתמונה, לעומת זאת, יכולים להיות שניים, שלושה ואפילו אינסוף מקורות. למשל, עבור הפונקציה הקבועה <math> \ f \left( x \right) = 5</math> , למספר 5 יש אינסוף מקורות כאשר התחום הוא <math>\ \mathbb{R }</math> . </br>▼
דוגמא: נתבונן בפונקציה:{{ש}}
▲תהא <math>\ f:A\to B</math> פונקציה.
<math>\begin{matrix}f(x) : &\{1,2,5\} &\to & \{3,7,14\} \\ & 1 &\mapsto & 3 \\ & 2 &\mapsto & 7 \\ & 5 &\mapsto & 14 \end{matrix}</math>{{ש}}
▲# יהא <math>\ y_0\in B </math> כלשהו, ונניח שקיים <math>\ x_0\in\ A </math> כך ש- <math>\ f\left( x_0\right) =y_0</math>. במקרה זה, אומרים ש- <math>\ x_0</math> הוא '''''מקור''''' של <math>\ y_0</math>.
#במקרה יהאזה, <math>\התחום y_0\inהנו Bהקבוצה </math> כלשהו\{1,2, ונניח שקיים <math>5\ x_0\in A }</math> כךוהתמונה ש-הנה הקבוצה <math>\ f{3,7,14\left( x_0\right) =y_0}</math> . במקרה זהכזה, אומריםאנו ש-יכולים <math>\ y_0</math>להגיד היאשטווח '''''התמונה'''''הפונקציה שלהוא <math>\ x_0N</math> .
▲* שימו לב: בגלל שהפונקציה היא חד-ערכית, לכל מקור יש תמונה אחת בלבד. לתמונה, לעומת זאת, יכולים להיות שניים, שלושה ואפילו אינסוף מקורות. למשל, עבור הפונקציה הקבועה <math>\ f\left( x\right) = 5</math>, למספר 5 יש אינסוף מקורות כאשר התחום הוא <math>\ \mathbb{R}</math>.</br>
דוגמא: נתבונן בפונקציה:</br> <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \left\{ 1,2,5 \right\} & \rightarrow & \left\{ 3,7,14 \right\} \\ & 1 & \mapsto & 3 \\ & 2 & \mapsto & 7 \\ & 5 & \mapsto & 14 \end{matrix}</math> </br>במקרה זה, התחום הינו הקבוצה <math>\ \left\{ 1,2,5 \right\}</math> והתמונה הינה הקבוצה <math>\ \left\{ 3,7,14 \right\}</math>. במקרה כזה, אנו יכולים להגיד שהטווח של הפונקציה הוא <math>\ \mathbb{N}</math>.
==פונקציה הפוכה==
כאמור למעלה, פונקציה היא תמיד ''חד -ערכית''. נראה אילו תכונות נוספות פונקציה כללית <math>\ f\left( x\right)</math> יכולה לקיים:
===חד-חד-ערכיות===
נגיד שפונקציה היא ''חד-חד-ערכית'' (ונכתוב: 1:1 או חח"ע) אם לכל איבראבר בטווח קיים '''לכל היותר''' מקור '''אחד בלבד''' בתחום. במקרה זה, נוכל להגיד שזהו ''ה''מקור של אותו איבראבר בתמונה.
===על===
נגיד שפונקציה היא ''על'' אם לכל איבראבר בטווח קיים '''לכל הפחות''' מקור אחד בתחום. תכונה זו, כפי שנראה בהמשך, תלויה פעמים רבות בהגדרת הטווח.
===הגדרה===
לפונקציה שהיא גם חח"ע וגם על ניתן להגדיר פונקציה הפוכה, באופן הבא: אם <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & A & \rightarrowto & B \\ & x & \mapsto & y=f\left( x\right) \end{matrix} </math> , אזי הפונקציה ההפוכה <math>\ f^{-1}\left( y\right) </math> תיראה כך:{{ש}}
<math>\ \begin{matrix} f^{-1}\left( y\right) : & B & \rightarrowto & A \\ & y & \mapsto & x=f^{-1}\left( y\right) \end{matrix} </math>
דוגמא: מצאו את הפונקציה ההפוכה של <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{N} & \rightarrowto & \mathbb{Z} \\ & x & \mapsto & -1\cdot x \end{matrix} </math> .
פתרון: ראשית נבדוק שמתקיימות התכונות שלמעלה: הפונקציה היא חד -חד -ערכית, כי לכל איבראבר בתמונה יש מקור יחיד. לעומת זאת, הפונקציה אינה על. על -מנת לפתור בעיה זו ולמצוא את הפונקציה ההפוכה, נשנה את אופן רישום הפונקציה: '''התמונה''' של הפונקציה הינההנה כל השלמים השליליים, כלומר <math>\ \mathbb{Z} ^- </math> . לכן, נרשום את הפונקציה באופן הבא:
<math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{N} & \rightarrowto & \mathbb{Z} ^- \\ & x & \mapsto & -1\cdot x \end{matrix} </math>. .{{ש}}
</br>כעת: הפעולה ההפוכה לכפל ב- <math>\ -1</math> היא כפל ב- <math>\ -1</math> . לכן, הפונקציה ההפוכה תהיה: <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{Z} ^- & \rightarrowto & \mathbb{N} \\ & x & \mapsto & -1\cdot x \end{matrix} </math> .
במבוא זה לא ניכנס להסברים יותר מפורטים. אליהם נגיע רק ב[[חשבון אינפיניטסימלי/פונקציות|פרק השני]] של קורס זה.
<tr>
<td width = 30% align = "center">הנושא הקודם בפרק זה<br>{{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים|מספרים רציונליים ואי-רציונליים]]</td>
<td width = 40% align="center">בחזרה לעמוד הפתיחה<br>{{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות]]</td>
<td width = 30% align="center">הנושא הבא בפרק זה: <br> {{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה|בר מניה ולא בר מניה]] <BR>{{ש}}
</td>
</tr>
</table>
| 