ויקיספר

חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
שורה 13:
===הקדמה===
<u>הגדרה:</u> מספר <math>x</math> יקרא ''אי-רציונלי'' אם <math>x\in\R\backslash\Q</math>. במילים אחרות, אם '''לא''' קיימים <math>p,q\in\Z</math> כך שניתן לרשום <math>x=\frac{p}{q}</math> . טענה זו נראית אולי סתמית למדי במבט ראשון, אך למעשה חשיבותה עצומה. שכן, עד כה הסברנו אמנם מהו מספר שאינו רציונלי, אך לא הראינו שקיים כזה.{{ש}}
האגדה מספרת על כת הפיתגוראים ביוון העתיקה, שהאמינו במספרים ועבדו אותם. המספרים היו, בעיניהם, מושלמים. יום אחד, גילה אחד מתלמידיו של פיתגורס כי קיים מספר שאינו רציונלי, הלא הוא <math>\sqrt2</math> ידידינו. הגילוי חולל סערה גדולה, שהרי כיצד ייתכן שבין המספרים המושלמים, שהיו שקולים לאלילים, קיים מספר שאינו מושלם, כלומר אינו רציונלי? באורח פלא, זמן קצר לאחר תגלית זו נטרפה ספינתו של המגלה, ומבחינת הפיתגוראים היתה זו הוכחה לכך שהאלילים נקמו את נקמתם. זאת, כמובן, אם מאמינים שהספינה אכן נטרפה בים דרך מקרה... ונחזור למתמטיקה.{{ש}}
 
<u>טענה</u>: המספר <math>\sqrt2</math> אינו רציונלי, כלומר <math>\sqrt2\not\in\Q</math> .{{ש}}
הוכחה: (לשם כך ניעזר בטענת העזר):
שורה 26 ⟵ 27:
 
===הוכחת הטענה===
<u>הוכחה</u>: נניח בשלילה כי <math>\sqrt2\in\Q</math> , כלומר רציונלי, ונגיע לסתירה:{{ש}}
<math>\Leftarrow\sqrt2\in\Q</math> ניתן לכתוב את <math>\sqrt2</math> כשבר מצומצם (מהגדרת <math>\Q</math>), כלומר: <math>\sqrt2=\frac{m}{n}(*)</math> עבור <math>m,n</math> שלמים כלשהם.{{ש}}
נעלה כעת את הביטוי (*) בריבוע. נקבל:
שורה 36 ⟵ 37:
<u>''אבל''</u>: הסקנו מוקדם יותר ש- <math>m</math> הוא מספר זוגי, וכעת הסקנו ש- <math>n</math> הוא מספר זוגי, וזוהי סתירה להנחה ש- <math>\frac{m}{n}</math> שבר מצומצם! <math>\sqrt2\Leftarrow</math> אינו מספר רציונלי, והטענה הוכחה. <math>\blacksquare</math>
 
==הקבוצות <math>\mathbb{R}</math> ו- <math>\mathbb{Q}</math> : תכונות והבדלים==
===הקדמה===
כזכור, <math>\ \mathbb{Q}</math> הינההנה קבוצת המספרים הרציונליים, ו- <math>\ \mathbb{R}</math> הינההנה קבוצת המספרים הממשיים, או "כל המספרים". נגדיר כעת את קבוצת המספרים האי-רציונלים: <math>\ \mathbb{R} \backslash\mathbb{Q} = \left\{ x|x\in\mathbb{R} \wedge x\not\in\mathbb{Q} \right\} </math>. אז כמו שהוכחנו למעלה, <math>\ \sqrt{2}sqrt2</math> שייך לקבוצה זו, כלומר
<math>\ \sqrt{2} sqrt2\in\mathbb{R} \backslash\mathbb{Q}</math> .</br>{{ש}}
<u>הגדרה</u>: ''פונקצית הערך השלם''
<math>\ \left[ x \right] </math> = המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה למספר <math>\ x </math> . יש המסמנים: <math>\ \lfloor x \rfloor </math> , על -מנת להדגיש את העובדה שמדובר במספר שהוא ''קטן'' מ-<math>\ x </math> (או שווה לו).</br>
דוגמאות: <math>\ Big\left[lfloor 2.32 \right] Big\rfloor=2\ 2, \left[Big\lfloor -2.32 \right] Big\rfloor=-3,\ ,\Big\left[lfloor 2.9999 \right] Big\rfloor=2,\ ,\left[lfloor 2 \right] rfloor=2\ , \left[Big\lfloor -5.43 \right] Big\rfloor= -6 </math> .
 
</br>מתקיים: <math>\ \left[lfloor x \right] rfloor\le x \le \left[Big\lfloor x+1 \right] Big\rfloor</math> .
 
===משפט: צפיפות המספרים הרציונלים והאי-רציונליים===
*<u>משפט</u>: בין כל שני מספרים שונים קיים מספר רציונלי ו''גם'' מספר אי-רציונלי.
*<u>למת עזר</u>: נתון <math>\ c>0 </math> כלשהו.
<u>אזי</u>: קיים <math>\ n\in\mathbb{N}</math> , כך ש- <math>\ 0<\frac{1}frac1{n} <c </math> .</br>
 
טענת הלמה בכתיב מתמטי: <math>\ forall\left( \forall \left( c>o \right0) \in \mathbb{R} \right) \left(, \exists\ n\in\mathbb{N} \right) |: 0<\frac{1}{n} <c </math> .</br>
<u>הוכחת הלמה</u>: נתון <math>\ c\in\mathbb{R} ^+ </math> כלשהו, ונגדיר עבורו את המספר הבא: <math>\ n= \left[ \frac{1}{c} \right] +1 </math>. נתון ש- <math>\ c>0 </math>, לכן <math>\ \left[ \frac{1}{c} +1 \right] </math> הוא שלם חיובי <math>\ n\in\mathbb{N} \Leftarrow </math>.</br>▼
 
מתקיים: <math>\ \frac{1}{c} <\left[ \frac{1}{c} \right] +1=n</math>▼
▲<u>הוכחת הלמה</u>: נתון <math>\ c\in\mathbb{R} ^+ </math> כלשהו, ונגדיר עבורו את המספר הבא: <math>\ n= \left[ Bigg\lfloor\frac{1}frac1{c} \right] Bigg\rfloor+1 </math> . נתון ש- <math>\ c>0 </math> , לכן <math>\ Bigg\left[ lfloor\frac{1}frac1{c} +1 \right] Bigg\rfloor</math> הוא שלם חיובי <math>\ n\in\mathbb{N} \Leftarrow </math> .</br>{{ש}}
<math>\ \frac{1}{c} <n \Leftarrow </math>▼
מתקיים: <math>\ \frac{1}frac1{n} <c\ \Leftarrow\ \frac1{c}</math>.n\ \Leftarrow\ \frac1{c}<\Bigg\lfloor\frac1{c}\Bigg\rfloor+1=n</brmath> .{{ש}}
<center>[[תמונה:P1fst.jpg|תרשים להמחשה - הנקודות הנ"ל על ציר המספרים]]</center>
 
נזכור ש- <math>\ c </math> היה מספר חיובי כלשהו, לכן קיבלנו שלכל <math>\ c </math> כנ"ל קיים <math>\ n\in\mathbb{N} </math> כנדרש, והטענה הוכחה. ▪</br>
 
''נעבור כעת להוכחת המשפט'':</br>
נתונים לנו שני מספרים <math>\ a,b </math> כך ש- <math>\ a<b</math>, ונוכיח שקיים ביניהם גם מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי:</br>▼
נבחר <math>\ n\in\mathbb{R}</math> המקיים:▼
<math>\ 0<\frac{1}{n} <b-a </math> (קיים כזה לפי הלמה).</br>▼
נבחר <math>\ m\in\mathbb{Z}</math>, כך ש- <math>\ m </math> הוא השלם <u> הקטן ביותר </u> המקיים: <math>\ a<\frac{m}{n} </math> (*), כלומר כך שמתקיים: ▼
<math>\ \frac{m-1}{n} <a< \frac{m}{n} </math>. ונרשום:
<math>\ \frac{m}{n} = \frac{m}{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{m-1}{n} + \frac{1}{n} </math>. מתקיים:</br>▼
<math>\ \left\{ \begin{matrix} \frac{m-1}{n} <a \\ \frac{1}{n} <b-a \end{matrix} \right. \Rightarrow \frac{m-1}{n} + \frac{1}{n} <a+(b-a) =b \Rightarrow \frac{m}{n} <b </math>▼
</br>
[[תמונה:P2fst.jpg]]▼
</br>
(ביחד עם (*) מתחילת ההוכחה) <math>\ a<\frac{m}{n}<b \Leftarrow </math> ומצאנו מספר רציונלי כנדרש.</br>▼
 
▲נתונים לנו שני מספרים <math>\ a,b </math> כך ש- <math>\ a<b</math> , ונוכיח שקיים ביניהם גם מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי:</br>{{ש}}
על מנת למצוא מספר אי-רציונלי נחזר על התהליך, רק עם <math>\ \frac{\sqrt{2}}{n} </math> במקום <math>\ \frac{1}{n} </math>: נבחר <math>\ n </math> כך שיתקיים: <math>\ 0<\frac{\sqrt{2}}{n} <b-a </math>. קיים <math>\ n </math> כזה, משום שלפי הלמה קיים <math>\ n </math> המקיים <math>\ 0<\frac{1}{n} <c </math> <u>לכל </u> <math>\ c </math>, לכן גם עבור <math>\ c= \frac{b-a}{\sqrt{2}} </math>. ואז: <math>\ 0<\frac{1}{n}<\frac{b-a}{\sqrt{2}} </math> <math>\ 0<\frac{\sqrt{2}}{n}<{b-a} \Leftarrow </math>.</br>▼
▲נבחר <math>\ n\in\mathbb{R}</math> המקיים:
ושוב: נבחר <math>\ m\in\mathbb{N}</math> כך ש- <math>\ \frac{\sqrt{2}(m-1)}{n} <a< \frac{\sqrt{2} m}{n} </math> וכולי... והטענה הוכחה. ▪</br>▼
▲<math>\ 0<\frac{1}frac1{n} <b-a </math> (קיים כזה לפי הלמה).</br>
 
▲נבחר <math>\ m\in\mathbb{Z}</math>, כך ש- <math>\ m </math> הוא השלם <u> הקטן ביותר </u> המקיים: <math>\ a<\frac{m}{n} </math> (*), כלומר כך שמתקיים:
▲מתקיים: <math>\ \frac{m-1}{cn} <\left[ a<\frac{1m}{cn} \right] +1=n</math> .
 
▲ונרשום: <math>\ \frac{m}{n} = \frac{m}{n} - \frac{1}frac1{n} + \frac{1}frac1{n} = \frac{m-1}{n} + \frac{1}frac1{n} </math> . מתקיים:</br>
 
▲מתקיים: <math>\ \left\{ \begin{matrix} \frac{m-1}{n} <a \\ \frac{1}frac1{n} <b-a \end{matrix} \right. \Rightarrow \frac{m-1}{n} + \frac{1}frac1{n} <a+(b-a) =b\ \Rightarrow\ \frac{m}{n} <b </math>
{{ש}}
▲[[תמונה:P2fst.jpg]]{{ש}}
▲(ביחד עם (*) מתחילת ההוכחה) <math>\ a<\frac{m}{n}<b \Leftarrow </math> ומצאנו מספר רציונלי כנדרש.</br>
 
על-מנת למצוא מספר אי-רציונלי נחזור על התהליך, רק עם <math>\frac{\sqrt2}{n}</math> במקום <math>\frac1{n}</math> :{{ש}}
▲על מנת למצוא מספר אי-רציונלי נחזר על התהליך, רק עם <math>\ \frac{\sqrt{2}}{n} </math> במקום <math>\ \frac{1}{n} </math>: נבחר <math>\ n </math> כך שיתקיים: <math>\ 0<\frac{\sqrt{2}sqrt2}{n} <b-a </math> . קיים <math>\ n </math> כזה, משום שלפי הלמה קיים <math>\ n </math> המקיים <math>\ 0<\frac{1}frac1{n} <c </math> <u>לכל </u> <math>\ c </math>, לכן גם עבור <math>\ c= \frac{b-a}{\sqrt{2sqrt2}} </math> . ואז: <math>\ 0<\frac{1}{n}<\frac{b-a}{\sqrt{2}} </math> <math>\ 0<\frac{\sqrt{2}}{n}<{b-a} \Leftarrow </math>.</br>
▲<math>\ 0<\frac{1\sqrt2}{cn} <n{b-a}\ \Leftarrow\ 0<\frac1{n}<\frac{b-a}{\sqrt2}</math> .
 
▲ושוב: נבחר <math>\ m\in\mathbb{N}</math> כך ש- <math>\ \frac{\sqrt{2}(m-1)}{n} <a< \frac{\sqrt{2}sqrt2 m}{n} </math> וכוליוכו'... והטענה הוכחה. ▪<math>\blacksquare</brmath>
 
===הערות ותוספות===
<u>הערות</u>:
*הציור המצורף להוכחה, כמו גם הציור שבהוכחת הלמה, נראים לכאורה פשוטים, ועל פניו אין בהם צורך. עם זאת, הניסיון מלמד כי גם במקרים בהם הציורים נראים פשוטים, עדיין מוטב להשתמש בהם על -מנת להגיע להבנה טובה יותר של החומר. הדבר חשוב במיוחד בהוכחות. בכלל, הוכחות הן לב-ליבה של המתמטיקה, ומי שמבין אותן על בורין ידע מתמטיקה היטב.
*נשים לב, שבניסוח המשפט למעלה כתוב "בין כל שני מספרים שונים", ואילו בהוכחה עצמה נתנו להם שמות (<math>\ a </math> ו- <math>\ b </math>), ואף טענו ש- <math>\ a<b</math> . על סמך מה טענו זאת?
:הבה נבדוק: נניח שהיינו חוזרים על ההוכחה עבור <math>\ b<a</math> . האם מהלך ההוכחה היה שונה? האם המסקנה (שהמשפט אכן מתקיים) היה שונה? התשובה לכך היא לא ולא. ומדוע? משום שבמקרה זה, <math>\ a </math> ו- <math>\ b </math> הם מספרים כללים כלשהם, ולא הוטלו עליהם כל הגבלות. לכן, מותר לנו להניח ש- <math>\ a<b</math> , והנחה זו אינה גורעת מכלליות המספרים.
:במקרה כזה, נהוג לכתוב: "נניח '''''בלי הגבלת הכלליות''''' ש- <math>\ a<b</math>" , או בקיצור - בה"כ. ביטוי זה משמש תמיד לציין שאנחנו מניחים הנחה נוספת מבלי שנקטין את קבוצת המקרים שבהם אנחנו מטפלים.
*דוגמהדוגמא נוספת לשימוש בביטוי בה"כ: נניח שנתונה לנו קבוצה של מספרים <math> \left\{ x_1, x_2, x_3, \cdots ldots,x_n \right\} </math> , וידוע לנו שאחד מה- <math>\ x </math>-ים (כלומר מהמספרים) הוא זוגי. אז ברור שאין שום חשיבות לאינדקס של אותו ה- <math>\ x </math> (זה יכול להיות <math>\ x_1, x_2, x_{17}, x_{225} </math> וכוליוכדומה). לכן, במקרה זה מותר לנו לכתוב "נניח בה"כ ש- <math>\ x_1</math> זוגי".
 
</br>
 
<u>הגדרה</u>: נתונות שתי קבוצות מספרים כלשהן <math>\ A,B </math>. קבוצה <math>\ A </math> תקרא "''צפופה'' (dense) ב- <math>\ B </math>" , אם בין כל שניים מאיברימאברי <math>\ B </math> קיים איבראבר השייך לקבוצה <math>\ A </math> .</br>
<u>מסקנה</u>: המספרים הרציונלים/האי-רציונלים צפופים (dense) ב- <math>\mathbb{R}</math>. </br>▼
 
▲<u>מסקנה</u>: המספרים הרציונלים/האי-רציונלים צפופים (dense) ב- <math>\mathbb{R}</math> . </br>
 
<u>מסקנה מהמשפט</u>: בין כל שני מספרים שונים כלשהם, קיימים <u>אינסוף</u> מספרים רציונלים ו<u>אינסוף</u> מספרים אי-רציונלים.
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/חשבון_אינפיניטסימלי/מושגים_בסיסיים_בתורת_הקבוצות/מספרים_רציונליים_ואי-רציונליים"