חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה: הבדלים בין גרסאות בדף

<u>בר-מניה</u>: קבוצה תקרא ''בת-מניה'' אם ניתן למספר את אבריה באמצעות המספרים הטבעיים. כלומר, לכל איבר בקבוצה נתאים מספר טבעי כך שאין שני איבריםאברים עם אותו מספר, ולכל מספר טבעי קיים איבראבר שקיבל מספר זה. נשים לב כי על-פי הגדרה זו קבוצות סופיות אינן יכולות להיות בנות-מניה, כי יש אינסוף מספרים טבעיים ולכן תמיד יהיה מספר שלא ניתן לאף אחד מאברי הקבוצה. לפעמים מרחיבים את ההגדרה ואומרים כי קבוצה בת-מניה היא קבוצה סופית או כזו שניתן למספר את איבריהאבריה בצורה שתוארה לעיל.

הדרך הנוחה ביותר להדגים התאמה בין קבוצה למספרים הטבעיים היא על-ידי סידור אברי הקבוצה בסדרה. במקרה הזה האיברהאבר הראשון בסדרה מותאם למספר 1, השני למספר 2 וכן הלאה.

ניתן לחשוב על קבוצה בת-מניה באופן הבא: ניתן לסדרה בצורה כזו כך שאם ניקח איבראבר בקבוצה, אז קיים בקבוצה איבראבר מסוים שהוא האיברהאבר הבא אחריו, וקיים בקבוצה איבראבר מסוים שהוא האיברהאבר הקודם לו. אם לא קיים אחד מאלה, הרי שאפשר להגיד על איבראבר מסוים זה שהוא ה"אחרון" בקבוצה או ה"ראשון" בה. עם זאת, יש לשים לב כי קיימות גם קבוצות שאינן בנות-מניה וניתן לסדרן בצורה כזו, ולכן הדגמה של סידור שכזה אינה מוכיחה שקבוצה היא בת-מניה.

# <math>\mathbb{N}</math> הנה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי: <math>1,2,3,4,5,\cdots</math> .

# <math>\mathbb{Z}</math> הנה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי: <math>0,1,-1,2,-2,\dots</math> . כאן התאמנו למקום מספר <math>n</math> בסדרה את המספר השלם <math>(-1)^n\cdot\left[(\frac{n}{2}\right])</math>

# אם <math>A</math> ו- <math>B</math> הן קבוצות בנות-מניה, אז גם <math>A \cup B</math> הנה בת-מניה. נדגים זאת: אברי <math>A</math> מסודרים בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,\dots</math> ואברי <math>B</math> בסדרה <math>b_1,b_2,b_3,\dots</math> ולכן עבור <math>A \cup B</math> נבנה את הסדרה <math>a_1,b_1,a_2,b_2,\dots</math> . כלומר, למקומות האי-זוגיים בסדרה החדשה התאמנו את אברי <math>A</math> ולמקומות הזוגיים את אברי <math>B</math> .

1. <math>\mathbb{Q}</math> הנה קבוצה בת-מניה.

: מדוע אנו זקוקים להוכחה עבור טענה זו? - משום שלא נתנו אף דוגמהדוגמא להתאמה של קבוצה זו למספרים הטבעיים.{{ש}}

2. <math>\mathbb{R}</math> <u>אינה</u> קבוצה בת-מניה.

מי שמעונייןשמעונין בהוכחות לטענות אלה מוזמן להסתכל ב[[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/נספח|נספח]] למבוא.