ויקיספר

חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קטעים: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
←‏הלמה של קנטור: תיקנתי את שם המשפט
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות}}
נתונים <math>a,b, \in \mathbb{R}</math>, <math>:a \le b</math> . אז נוכל להגדיר בעזרתם את הקטעים הבאים:
*קטע פתוח: <math>(a,b) = \{x \in \mathbb{R}|a<x<b\}</math> , כלומר כל ה- <math>x</math>-ים ב- <math>\mathbb{R}</math> (כל המספרים הממשיים המקיימים את התנאי) ה''גדולים ממש'' מ- <math>a</math> ו''הקטנים ממש'' מ- <math>b</math> .
*קטע סגור: <math>[a,b] = \{x \in \mathbb{R}|a \le x \le b\}</math> , כלומר כל ה- <math>x</math>-ים ב- <math>\mathbb{R}</math> הגדולים מ- <math>a</math> ''או שווים לו'' והקטנים מ- <math>b</math> ''או שווים לו''.
*קטעים חצי-פתוחים וחצי-סגורים:
<math>[(a,b) ]= \{x \in \mathbb{R}|a <x\le x < b\}</math>\ ,\ <math>([a,b] )= \{x \in \mathbb{R} |a < x \le x<b\}</math>
 
*בצורה דומה נסמן ''קרניים'':
<math>[a,\infty) = \{x \in \mathbb{R}|x \ge a\}\ , &\ (a,\infty) = \{x \in \mathbb{R}|x>a\} \\ </math>▼
<math>\ \begin{matrix}
▲[a,\infty) = \{x \in \mathbb{R}|x \ge a\} , & (a,\infty) = \{x \in \mathbb{R}|x>a\} \\
(-\infty,b) = \{x \in \mathbb{R}|x<b\}, &
(-\infty,b] = \{x\in\mathbb{R}|x \le b\} \end{matrix}</math>.
 
<math>(-\infty,b)=\{x\in\R|x<b\}\ ,\ (-\infty,b]=\{x\in\R|x\le b\}</math>
בכל ההגדרות הללו, כפי שנראה בהמשך, ישנה חשיבות רבה להבחנה בין <math>\ < </math> ובין <math>\le</math>.▼
 
* דוגמאות חשובות:▼
▲בכל ההגדרות הללו, כפי שנראה בהמשך, ישנה חשיבות רבה להבחנה בין <math>\ < </math> וביןו- <math>\le</math> .
<math>[a,a] = a</math>,<math>(a,a) = \empty</math>,<math>(-\infty,\infty) = \mathbb{R}</math>.▼
▲* דוגמאות חשובות:
▲<math>[a,a] =a\ a</math>,<math>\ (a,a) = \empty</math>\ ,<math>\ (-\infty,\infty) = \mathbb{R}</math> .
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
 
===הלמה של קנטור===
משפט חשוב בנושא קטעים הוא '''הלמה של קנטור''' (מהמילה Lemma). הלמה אומרת:{{ש}}
תהי סדרה אינסופית של קטעים סגורים מהצורה <math>[a_n,b_n]</math> כך ש- <math>\forall\ n\in\mathbb{N} : a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n</math> אזי <math>\exists\ c \in \mathbb{R} : \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]=\{c\}</math> .{{ש}}
כלומר, אם ניקח אינסוף קטעים סגורים המוכלים אחד בשני (ואף קטע לא שווה לקודמו), אז קיימת נקודה שנמצאת בחיתוך של כל הקטעים והיא הנקודה היחידה.
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/חשבון_אינפיניטסימלי/מושגים_בסיסיים_בתורת_הקבוצות/קטעים"