חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

מ
אין תקציר עריכה
(היה כפל בכתיבה של a למרות שאחד המופעים אמור להיות x)
מאין תקציר עריכה
{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות}}
==הגדרות ודוגמאות==
<u>הגדרה</u>: תהא <math>\ A\subset\mathbb{R} </math> . נגיד שהקבוצה <math>\ A </math> ''חסומה מלעיל'' (''Bounded above'') אם קיים מספר <math>\ M </math> כך שלכל <math>\ x\in A </math> , מתקיים: <math>\ x\le M </math> .
[[תמונה:P4fst.jpg|כאן, M הינוהנו חסם מלעיל כלשהו לקבוצה A, כלומר הקבוצה A חסומה מלעיל ע"י M.]]
קל לראות, על -פי ההגדרה, ש- <math>\ M </math> אינו יחיד (כי: יהא <math>\ M </math> מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ- <math>\ M </math> יקיים את התנאי אף הוא). כל <math>M</math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלעיל'' (''upper bound'').{{ש}}
<u>הגדרה</u>: תהא <math>\ A\subset\mathbb{R} </math> . נגיד שהקבוצה <math>\ A </math> ''חסומה מלרע'' (''Bounded below'') אם קיים מספר <math>\ m </math> כך שלכל <math>\ x\in A </math>, מתקיים: <math>\ x\ge m </math> .
כל <math>\ M </math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלעיל'' (''upper bound'').</br>
ושוב קל לראות, על -פי ההגדרה, ש- <math>\ m </math> אינו יחיד.</br>{{ש}}
<u>הגדרה</u>: תהא <math>\ A\subset\mathbb{R} </math>. נגיד שהקבוצה <math>\ A </math> ''חסומה מלרע'' (''Bounded below'') אם קיים מספר <math>\ m </math> כך שלכל <math>\ x\in A </math>, מתקיים: <math>\ x\ge m </math>.
כל <math>\ M m</math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלעילמלרע'' (''upperlower bound'').</br>{{ש}}
ושוב קל לראות, על פי ההגדרה, ש- <math>\ m </math> אינו יחיד.</br>
<u>דוגמאות</u>:</br>{{ש}}
כל <math>\ m </math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלרע''(lower bound'').</br''>
1. <math>\ \mathbb{N} = \left\{ 1,2,3,\cdots \rightldots\} </math> חסומה מלרע - כל <math>\ m\le 1 </math> הוא חסם מלרע.
<u>דוגמאות</u>:</br>
לעומת זאת, הקבוצה <math>\ \mathbb{N} </math> אינה חסומה ''מלעיל''.</br>
1. <math>\ \mathbb{N} = \left\{ 1,2,3,\cdots \right\} </math> חסומה מלרע - כל <math>\ m\le 1 </math> הוא חסם מלרע.
2. <math>\ A= \left( 0,1 \right] </math> :
לעומת זאת, הקבוצה <math>\ \mathbb{N} </math> אינה חסומה ''מלעיל''.</br>
*קיים חסם מלעיל בתוך <math>A</math> (שהוא, כמובן, המספר <math>1</math>). פרט לכך, קיימים, כמובן, אינסוף חסמי מלעיל נוספים!
2. <math>\ A= \left( 0,1 \right] </math>:
*קיים חסם מלעיל בתוךמלרע <math>\ A 0</math> (שהוא, כמובן,אך המספרהוא אינו בתוך <math>\ 1 A</math>). פרט לכך, (קיימים, כמובן, אינסוףנוספים, חסמישגם מלעילאף נוספים!אחד מהם אינו נמצא בתוך הקבוצה <math>A</math>).
*קיים חסם מלרע3. <math>A=\ 0 left\{\frac1{n}\bigg|n\in\N\right\}</math>, אךחסומה הואמלעיל אינו(למשל: בתוךע"י <math>\ A1 </math>) (קיימים,ומלרע כמובן,(למשל: נוספים, שגם אף אחד מהם אינו נמצא בתוך הקבוצהע"י <math>\ A0 </math>).</br></br>
3. <math>\ A= \left\{ \frac{1}{n} |n\in\mathbb{N} \right\} </math> חסומה מלעיל (למשל: ע"י <math>\ 1 </math>) ומלרע (למשל: ע"י <math>\ 0 </math>).</br></br>
<u>הגדרה</u>: קבוצה תקרא ''חסומה'' אם היא חסומה '''גם''' מלעיל ו'''גם''' מלרע.</br></br>
<u>הגדרה</u>: נתונה <math>\ A </math>, קבוצה החסומה מלעיל ב- <math>\ \mathbb{R} </math>.