חשבון אינפיניטסימלי/סדרות: הבדלים בין גרסאות בדף

בפרק זה נעסוק בסדרות של מספרים ממשיים בלבד. ניתן לראות סדרה של מספרים ממשיים כקבוצה סדורה של מספרים כך שכל מספר מאופיין על -ידי ערכו והמקום בסדרה שבו הוא נמצא. לפני שניתן את ההגדרה המדוייקתהמדויקת נציג מספר דוגמאות לסדרות:

* #<math>1, 4, 7, 1, 3</math> - זוהי סדרה בת חמישה איבריםאברים. האיברהאבר הראשון בה הוא <math>1</math> , השני <math>4</math> וכן הלאה. נשים לב כי האיברהאבר הרביעי גם הוא <math>1</math> , כלומר אין מניעה שאותו מספר יופיע כמה פעמים בתוך סדרה.

* #<math>1, 3, 5, 7, 9, 11</math> - זוהי '''סדרה חשבונית''' בת שישהששה איברים. השם "סדרה חשבונית" בא לציין את העובדה כי היא בעלת התכונה שההפרש בין כל מספר לקודמו זהה.

* #<math>5, 25, 125</math> - זוהי '''סדרה הנדסית''' בת שלושה איבריםאברים. השם "סדרה הנדסית" בא לציין את העובדה כי היא בעלת התכונה שהמנה של כל מספר המחולק בקודמו זהה.

* #<math>1, 1, 2, 3, 5, 8,\dotsldots</math> - זוהי סדרה הנקראת '''סדרת פיבונאצ'י''' והיא בעלת התכונה שכל איבראבר בה החל מהמקום השלישי הוא סכום שני האיבריםהאברים שקדמו לו. שלוש הנקודות שבסוף כתיבת הסדרה מציינות שבסדרה אינסוף איברים'אברים.

* #<math>1, 1,1,1,1,\dotsldots</math> - זוהי סדרה אינסופית קבועה שכל איבריהאבריה שווים ל- <math>1</math> .

*למשל, את הסדרה מדוגמה מספרמדוגמא 1 ניתן להציג בתור הפונקציה <math>f:\{1,2,3,4,5\} \to \mathbb{R}</math> המקיימת <math>f(1)=1\ ,\ f(2)=4\ ,\ f(3)=7\ ,\ f(4)=1\ ,\ f(5)=3</math> .

*את הסדרה מדוגמה מספרמדוגמא 5 ניתן להציג בתור הפונקציה <math>f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}</math> המקיימת <math>f(n)=1</math> לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> .

#הדרך הבסיסית לתאר סדרה היא באמצעות כתיבת אבריה, בדומה למה שעשינו בדוגמאות למעלה. כאשר בסדרה מספר רב של איבריםאברים לרוב כותבים רק חלק מהם, כך שניתן להבין מהאיבריםמהאברים המוצגים את צורתם של שאר האיבריםהאברים. בדוגמהבדוגמא 5 חוזרים על המספר <math>1</math> מספר רב של פעמים מבלי שיופיע אף מספר אחר, כך שניתן להניח כי הכוונה היא שכל אברי הסדרה הם <math>1</math> . בדוגמהבדוגמא 4 ניתן לראות שכל איבראבר הוא סכום של שני הקודמים לו ולכן ניתן להבין כי גם המשך הסדרה יענה לכלל זה. לשיטה זו מספר חסרונות ברורים:

##לא ברור כלל שכל הקוראים יהיו מסוגלים להבין את הכלל המנחה של הסדרה מהאיבריםמהאברים שמוצגים.

#דרך נוספת לתאר סדרה של מספרים היא באמצעות נוסחה כללית, המתארת את הערך של האיברהאבר במקום <math>n</math> כפונקציה של <math>n</math> . למשל, לסדרה שבדוגמהשבדוגמא 2 מתאימה הנוסחה הבאה: <math>a_n=1+2\cdot n</math> , כאשר <math>a_n</math> פירושו "האיברהאבר במקום ה- <math>n</math>" . לא תמיד הנוסחאות פשוטות כל כך: עבור הסדרה שבדוגמהשבדוגמא 4 הנוסחה היא <math>a_n=\frac{\sqrt5}{5}\left[\leftbigl(\frac{1+\sqrt5}{2}\rightbigr)^n-\leftbigl(\frac{1-\sqrt5\bigr)^n}{2}\right)^n\right]sqrt5}</math> וההגעה לנוסחה זו אינה מיידית. ההוכחה לנוסחה הנ"ל נמצאת [[/הוכחה לנוסחה כללית|פה]]. ישנן גם סדרות שאין להן כלל נוסחה לאיברלאבר הכללי.

#ניתן לתאר סדרה גם באמצעות '''כלל נסיגה''' המציג כל איבראבר כפונקציה של חלק מהאיבריםמהאברים הקודמים. כל כלל נסיגה צריך גם לכלול תנאי התחלה, שהם ערכים מפורשים שניתנים לאיבריםלאברים הראשונים בסדרה. למשל, עבור הסדרה שבדוגמהשבדוגמא 4 קיימים תנאי ההתחלה <math>a_1=1,a_2=1</math> וכלל הנסיגה <math>a_n=a_{n-1}+a_{n-2}</math> לכל <math>n \ge 3</math> .

כאשר רוצים לתאר סדרה באופן כללי מבלי לייחסליחס ערך ספציפי לאיבריהלאבריה, נהוג לכתוב אותה כך:

משמעות הסימון הזה היא שהסדרה היא הקבוצה של האיבריםהאברים <math>a_1,a_2,\dotsldots,a_n</math> המסמנים את אברי הסדרה.

סדרה חשבונית היא סדרה שההפרש בין כל שני איבריםאברים סמוכים בה קבוע, כלומר זוהי סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^{N}</math> כך ש- <math>a_n-a_{n-1}=d</math> לכל <math>n>1</math> , כאשר <math>d</math> הוא מספר קבוע המכונה '''הפרש הסדרה'''.

סדרה חשבונית נקבעת לחלוטין על -פי האיברהאבר הראשון שלה <math>a_1</math> וערכו של <math>d</math> . פירוש הדבר הוא שאם אנחנו יודעים את האיברהאבר הראשון ואת הפרש הסדרה, אנחנו יודעים מה יהיה ערכו של כל אחד מאברי הסדרה. נראה זאת:

אם <math>a_1</math> הוא האיברהאבר הראשון אז מכיווןמכיון ש- <math>a_2-a_1=d</math> מתקיים <math>a_2=a_1+d</math> . בצורה דומה <math>a_3=a_2+d=a_1+2d</math> . באופן כללי מתקיים <math>a_n=a_1+(n-1)d</math> . כתרגיל נסו להוכיח זאת באינדוקציה.

לעתים קרובות מתעניינים בסכום <math>n</math> האיבריםהאברים הראשונים בסדרה, אותו מסמנים <math>S_n</math> . נראה כיצד מוצאים את הנוסחה לערכו של סכום זה:

אנו רוצים למצוא את <math>S_n=a_1+a_2+\dotscdots+a_n</math>. על -פי הנוסחה לאיבר הכללי נקבל:

<math>{S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dotscdots+(a_1+(n-1)d)=n\cdot a_1+d(1+2+\dotscdots+(n-1))}</math> .

נותר לנו לחשב את ערך הסכום <math>1+2+\dotscdots+n-1</math> . ניתן להוכיח באינדוקציה כי סכום זה הוא <math>\frac{(n-1)n}{2}</math> . נציג את הרעיון שמאחורי הפתרון.

אנקדוטה מספרת על כך שהמתמטיקאי המפורסם '''קרל פרידריך גאוס''' גילה את הפתרון לבעיה זו בגיל 7, כאשר המורה בבית הספר שלו נתן לתלמידים לסכום את כל המספרים מ-1 עד 100 במטרה להעסיק אותם שעה ארוכה, וגאוס פתר את התרגיל כמעט מיד. גאוס הבחין כי הסכום של האיברהאבר הראשון והאחרון הוא 101, הסכום של האיברהאבר השני והלפני אחרון גם כן 101 וכן הלאה - ובסך הכל קיימים 50 זוגות שכאלו, ולכן הסכום הכולל הוא <math>50\cdot 101=5050</math> . באופן כללי כאשר יש לנו <math>n-1</math> מספרים ישנם <math>\frac{n-1}{2}</math> זוגות (במקרה שבו מספר האיבריםהאברים אי-זוגי יהיה לנו "חצי -זוג" אחד) שערך כל אחד מהם הוא <math>n</math> (סכום האיברהאבר הראשון והאחרון).

שיטתו של גאוס עובדת גם במקרה זה, ולכן דרך אחרת להצגת הנוסחה היא באמצעות האיברהאבר הראשון והאחרון:

סדרה הנדסית היא סדרה שהמנה של כל שני איבריםאברים סמוכים בה זהה. כלומר זוהי סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^{N}</math> כך ש- <math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=q</math> לכל <math>n > 1</math> , כאשר <math>q</math> הוא מספר קבוע המכונה '''מנת הסדרה'''.

בדומה לסדרה חשבונית, גם סדרה הנדסית נקבעת לחלוטין על -ידי האיברהאבר הראשון ועל -ידי מנת הסדרה. ניתן להוכיח מיידית באינדוקציה כי <math>a_n=a_1qa_1\cdot q^{n-1}</math> .

<math>S_n=a_1+a_2+\dotscdots+a_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\dotscdots+a_1q^{n-1}=a_1(1+q+q^2+\dotscdots+q^{n-1}</math>.

נותר לראות מהו ערך הסכום <math>q^{n-1}+\dotscdots+q+1</math> .

כאשר <math>q=1</math> ברור כי ערך הסכום הוא <math>n</math> . במקרה זה סכום הסדרה כולה הוא <math>n \cdot a_1</math> . זוהי סדרה "טריוויאלית" במובן זה שכל האיבריםהאברים בה זהים.

אם <math>q \ne 1</math> אז נשים לב לכך שמתקיים הדבר הבא:

<math>(q^{n-1}+\dotscdots+q+1)(q-1)=q^n-1</math> (נסו להוכיח זאת על -ידי פתיחת הסוגריים) ולכן <math>q^{n-1}+\dotscdots+q+1=\frac{q^n-1}{q-1}</math> .