חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 90:
====מכפלת גבולות====
החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע).
החוק אומר כי אם <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> וכן <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , אזי <math>\lim_{x\to a}\Big[f(x)\cdot g(x)\Big]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)=L_1\cdot L_2</math> . ''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta</math> , אזי <math>\
אנחנו רוצים לקבל ביטוי שמכיל את <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|</math> ואת <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|</math> ולכן נעשה את הדבר הבא:
▲''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta</math> , אזי <math>\bigg|f(x)\cdot g(x)-L_1\cdot L_2\bigg|<\varepsilon</math> . אנחנו רוצים לקבל ביטוי שמכיל את <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|</math> ואת <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|</math> ולכן נעשה את הדבר הבא:
<div style="text-align: center;">
<math>{\
</div>
<div style="text-align: center;">
<math>\
</div>
במעבר השלישי נעשה שימוש באי-שוויון המשולש. נרצה שכל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מחצי אפסילון. לשם כך, נשתמש בגבולות אשר ידועים לנו.
כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , קיים מספר <math>\delta_1>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2\Big|L_1\Big|}</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_1</math> .
כמו-כן קיים מספר <math>\delta_2>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<1</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_2</math> . מכאן:
<div style="text-align: center;">
<math>\Big|g(x)\Big|=\bigg|g(x)-L_2+L_2\bigg|\ {\color{red}\le}\ \bigg|g(x)-L_2\bigg|+\Big|L_2\Big|\ {\color{red}<}\ 1+\Big|L_2\Big|</math>
</div>
כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> , קיים מספר <math>\delta_3>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2\Big(1+\Big|L_2\Big|\Big)}</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_3</math> .
נקבע <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> . אם <math>0<|x-a|<\delta</math> אז מתקיים <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_3</math> , לכן מתקיימים שלושת האי-שוויונות שמצאנו לעיל. לפיכך, <div style="text-align: center;">
<math>{\
</div>
| |||