חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 36:
====סכום גבולות====
אמרנו כי במידה והגבולות <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> ו- <math>\lim_{x\to a}g(x)</math> קיימים וסופיים אז גבול הסכום שלהם הוא סכום הגבולות, כלומר, <math>\lim_{x\to a}\Big[f(x)+g(x)\Big]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)</math> .{{ש}}{{ש}}
אם נכתוב <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> ו- <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , נראה שעלינו להוכיח כי <math>\lim_{x\to a}\Big[f(x)+g(x)\Big]=L_1+L_2</math> .{{ש}}{{ש}}▼
▲אם נכתוב <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> ו- <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , נראה שעלינו להוכיח כי <math>\lim_{x\to a}\Big[f(x)+g(x)\Big]=L_1+L_2</math> .
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאם <math>0 <|x-a|<\delta</math> , אזי
<math>\
<div style="text-align: center;">
<math>{\
</div>{{ש}}{{ש}}
במעבר השני נעשה שימוש באי-שוויון המשולש ( <math>a,b\in\R</math> אז <math>|a+b|\le |a|+|b|</math> ).{{ש}}
מכיון שנתונים לנו הגבולות של <math>f(x)</math> ו- <math>g(x)</math> , אין זו בעיה להגבילם.{{ש}}{{ש}}▼
#נתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> , כלומר קיים <math>\delta_1</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta_1</math> , אז <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}{{ש}}▼
#נתון <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , כלומר קיים <math>\delta_2</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> , אז <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}{{ש}}▼
נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math> ואז אם <math>0<|x-a|<\delta</math> , אז מתקיים <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> -
כך שמתקיים <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> וגם <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}{{ש}}
▲במעבר השני נעשה שימוש באי-שוויון המשולש ( <math>a,b\in\R</math> אז <math>|a+b|\le |a|+|b|</math> ). אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ- <math>\frac{\varepsilon}{2}</math> , אז נקבל <math>\bigg|\Big[f(x)+g(x)\Big]-(L+M)\bigg|<\varepsilon</math> כדרוש.{{ש}}
▲מכיון שנתונים לנו הגבולות של <math>f(x)</math> ו- <math>g(x)</math> , אין זו בעיה להגבילם.{{ש}}
▲נתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> , כלומר קיים <math>\delta_1</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta_1</math> , אז <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}
▲נתון <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , כלומר קיים <math>\delta_2</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> , אז <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .
▲נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math> ואז אם <math>0<|x-a|<\delta</math> , אז מתקיים <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> - כך שמתקיים <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> וגם <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}
לכן מתקיים:
<div style="text-align: center;">
<math>\
</div> .
שורה 63 ⟵ 60:
====מכפלת גבול בקבוע====
אמרנו כי כאשר יש גבול של פונקציה המוכפלת בקבוע, ניתן להוציא את הקבוע אל מחוץ לגבול. כלומר, <math>\lim_{x\to a}\Big[c\cdot f(x)\Big]=c\cdot\lim_{x\to a}f(x)</math> אם קיים הגבול <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> .
אם נכתוב <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> , החוק אומר כי <math>\lim_{x\to a}\Big[c\cdot f(x)\Big]=c\cdot L</math> . ''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta</math>, אזי <math>\bigg|c\cdot f(x)-c\cdot L\bigg|<\varepsilon</math> . נסדר מעט את אי-השוויון ונקבל:{{ש}}
<div style="text-align: center;">
<math>\bigg|c\cdot f(x)-c\cdot L\bigg|=\bigg|c\Big
</div>{{ש}}
כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> , קיים <math>\delta_1>0</math> כך שאם <math>0<|x-a|<\delta_1</math> אז <math>\Big|f(x)-L\Big|<\varepsilon_1</math> . לכל סביבה אפסילון יש סביבה דלתא המתאימה לה. למטרותינו בהוכחה זו, ניקח <math>\varepsilon_1=\frac{\varepsilon}{|c|}</math> (אפסילון הוא חיובי והביטוי במכנה הוא תחת ערך מוחלט) וקיים <math>\delta_1</math> שמתאים לו. נבחר <math>\delta=\delta_1</math> ואז מכיון ש- <math>0<|x-a|<\delta</math> אז כמובן <math>0<|x-a|<\delta_1</math> . לפיכך, מתקיים <math>\bigg|f(x)-L\bigg|<\frac{\varepsilon }{|c|}</math> וכתוצאה מכך, נקבל:▼
כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> , קיים <math>\delta_1>0</math> כך שאם <math>0<|x-a|<\delta_1</math> אז <math>\Big|f(x)-L\Big|<\varepsilon_1</math> .{{ש}}
▲
נבחר <math>\delta=\delta_1</math> ואז מכיון ש- <math>0<|x-a|<\delta</math> אז כמובן <math>0<|x-a|<\delta_1</math> . לפיכך, מתקיים <math>\bigg|f(x)-L\bigg|<\frac{\varepsilon }{|c|}</math> וכתוצאה מכך, נקבל:{{ש}}
<div style="text-align: center;">
<math>\bigg|c\cdot f(x)-c\cdot L\bigg|=|c|\cdot\bigg|f(x)-L\bigg|\ {\color{red}<}\ |c|\cdot\frac{\varepsilon}{|c|}=\varepsilon</math>
</div>{{ש}}
לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול. מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>
| |||