חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
שורה 99:
 
<div style="text-align: center;">
<math>{\Bigg|f(x)\cdot g(x)-L_1\cdot L_2\Bigg|=\Bigg|f(x)\cdot g(x)-L_1\cdot g(x)+L_1\cdot g(x)-L_1\cdot L_2\Bigg|=\Bigg|g(x)\Big[(f(x)-L_1\Big])+L_1\Big[(g(x)-L_2\Big])\Bigg|\ {\color{red}\le}}</math>
</div>
<div style="text-align: center;">
<math>\Bigg|g(x)\Big[(f(x)-L_1\Big])\bigg|+\Bigg|L_1\Big[(g(x)-L_2\Big])\Bigg|=\Big|g(x)\Big|\cdot\bigg|f(x)-L_1\bigg|+\Big|L_1\Big|\cdot\bigg|g(x)-L_2\bigg|</math>
</div>
 
שורה 110:
כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , קיים מספר <math>\delta_1>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2\Big|L_1\Big|}</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_1</math> .
 
כמו-כן קיים מספר <math>\delta_2>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<1\varepsilon</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_2</math> . מכאן:
 
<div style="text-align: center;">
<math>\Big|g(x)\Big|=\bigg|g(x)-L_2+L_2\bigg|\ {\color{red}\le}\ \bigg|g(x)-L_2\bigg|+\Big|L_2\Big|\ {\color{red}<}\ 1\varepsilon+\Big|L_2\Big|</math>
</div>
 
כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> , קיים מספר <math>\delta_3>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2\Big(1\varepsilon+\Big|L_2\Big|\Big)}</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_3</math> .
 
נקבע <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> .
 
 
אם <math>0<|x-a|<\delta</math> אז מתקיים <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_3</math> , לכן מתקיימים שלושת האי-שוויונות שמצאנו לעיל. לפיכך,
 
 
נקבע <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> .{{ש}}{{ש}}
אם <math>0<|x-a|<\delta</math> אז מתקיים <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_3</math> , לכן מתקיימים שלושת האי-שוויונות שמצאנו לעיל. לפיכך,{{ש}}{{ש}}
<div style="text-align: center;">
<math>{\Bigg|f(x)\cdot g(x)-L_1\cdot L_2\Bigg|\ {\color{red}\le}\ \Big|g(x)\Big|\cdot\bigg|f(x)-L_1\bigg|+\Big|L_1\Big|\cdot\bigg|g(x)-L_2\bigg|\ {\color{red}<}\ \frac{\varepsilon\Big(1\varepsilon+\Big|L_2\Big|\Big)}{2\Big(1\varepsilon+\Big|L_2\Big|\Big)}+\frac{\varepsilon\Big|L_1\Big|}{2\Big|L_1\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon}</math>
</div>