|
'''משפט''': אם <math>f</math> רציפה בקטע הסגור <math>[a,b]</math> , גזירה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ומתקיים <math>f(a) = f(b)</math> , אזי קיימת נקודה <math>c \in (a,b)</math> עבורה <math>f'(c) = 0</math> .
''הוכחה'': נחלק לשלושה מקרים:
* <math>f</math> פונקציה קבועה - במקרה זה, <math>f'(x) = 0</math> לכל <math>x \in (a,b)</math> לכן ניתן לקחת כ- <math>c</math> כל נקודה שהיא בקטע פתוח זה.
* <math>f(x) > f(a)</math> עבור <math>x \in (a,b)</math> כלשהו. מאחר ו- <math>f</math> רציפה בקטע הסגור <math>[a,b]</math> , עפ"י [[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס|המשפט השני של ויירשטראס]] היא מקבלת שם מקסימום. מכיווןכיון ש- <math>f(a) = f(b)</math> , היא חייבת לקבל מקסימום זה בנקודה כלשהי <math>c \in (a,b)</math>. אזי ל- <math>f</math> יש מקסימום מקומי בנקודה <math>c</math> ומכיווןומכיון שעפ"י הנתון היא גזירה בה, נובע מ[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט פרמה|משפט פרמה]] כי <math>f'(c) = 0</math> .
* <math>f(x) < f(a)</math> עבור <math>x \in (a,b)</math> כלשהו. מאחר ו- <math>f</math> רציפה בקטע הסגור <math>[a,b]</math> , עפ"י [[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס|המשפט השני של ויירשטראס]] היא מקבלת שם מינימום. מכיוןכיון ש- <math>f(a) = f(b)</math>, היא חייבת לקבל מינימום זה בנקודה כלשהי <math>c \in (a,b)</math> . אזי ל- <math>f</math> יש מינימום מקומי בנקודה <math>c</math> ומכיון שעפ"י הנתון היא גזירה בה, נובע מ[[../../גזירות/משפט פרמה|משפט פרמה]] כי <math>f'(c) = 0</math> .
מ.ש.ל.
|
