מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
'''נגזרת''' היא '''שיפוע''' ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|פונקציה]] שאינה דווקא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה/לינארית]] (<math>
חשיבות הנגזרת : מסייעת לנו לחקור פונקציה נתונה ולמצוא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עלייה וירידה]] של הפונקציה, [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]] ועוד.
'''[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק|משיק]] -''' ישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה. המשיק הינו קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך הוא לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר.
'''נקודת ההשקה -''' נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ
=ה"בעיה" במציאת נגזרת=
שורה 10:
במילים אחרות, בפונקציה לינארית, ניתן להעביר מיתר בין כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.
לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי שיפוע יקבע על פי המיתר הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה.
==דוגמא==
===הגדרות===
[[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]]
'''הפונקציה :''' <math>
'''<math>
'''<math>B</math> - נקודה '''השיפוע : ''' <math>
===מציאת הנגזרת===
*'''מימין או משמאל? -''' נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימין ל- <math>
**
**
*
<math>
{| class="wikitable" border="1"
| 0.9
| 0.8
| 0.7
|'''
|-
| 1.9
| 1.8
| 1.7
|<math>
|}
ככל שמתקרבים אל 1 (ערך
<math>
{| class="wikitable" border="1"
| 1.1
| 1.2
| 1.3
|'''
|-
| 2.1
| 2.2
| 2.3
|<math>m
|}
שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך <math>
==טבלה==
אם נביט בטבלה, נוכל לראות שוב כי ככל שערכי ה-<math>
<table cellpadding=5 border="1" align="center">
שורה 73 ⟵ 75:
=גבול (lim)=
התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך <math>
# הפונקציה <math>\ y=f(x)</math> ▼
'''החישוב מתבצע כך :''' <math>\lim M</math> ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע):
#
#
#<math>\ lim</math> - נבדוק מה קורה לביטוי כאשר <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-<math>\ x_0</math>.▼
#נחשב את השיפוע בין שתי הנקודות: <math>m=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}</math> .
▲#<math>\ lim</math> - נבדוק מה קורה לביטוי כאשר <math>
==דוגמא==
נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות <math>\
טענו כי אנו ''<span style="color: BLUE;">שואפים</span>'' שהנקודה
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}</math>
מעתה, אנו מתייחסים אל <math>x_B</math> כשווה ל- <math>x_A</math> .
נפרק את הגבול לגורמים ונקבל :
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
מכאן, ששיפוע הפונקציה <math>
==
===פונקציה גזירה===
את נוסחא ה'''גבול''' פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה- <math>\
===פונקציה חדשה===
קיים מגוון רחב של פונקציות, אך, רובן הן שילוב של שתים, שלוש ויותר, פונקציות. כלומר, אם נחבר שתי פונקציות (נחבר ערכים של נקודות הפונקציה), נוכל לקבל פונקציה חדשה - פונקצית סכום.
במהלך הכרך נלמד למצוא נגזרת של "פנקציה חדשה" בקלות. גם נושא זה יכלל בערך [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]]. ▼
▲במהלך הכרך נלמד למצוא נגזרת של "פנקציה חדשה" בקלות. גם נושא זה יכלל בערך [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
[[קטגוריה:מתמטיקה לתיכון]]
|