מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נגזרת - תורת הגבולות: הבדלים בין גרסאות בדף

ציפית משרד החינוך מתלמידי 5 יחידות הוא לדעת את "תורת הגבולות" ביחס לנגזרת של פונקציה. חלק מהמורים מלמדים את הנושא; חלק אינם; חלק מזכירים אותו. לפי הידוע לי עדין לא הייתה שאלה שהכריחה להעזר בתורת הגבולות בכדי למצוא נגזרת.<br />{{ש}}

הנושא דן על מציאת נגזרת של פונקציה (כפי שלמדנו ב[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|פרק הקודם]]), על ידי, "תורת הגבולות". טכנית, הדרך מאוד זהה לדרך שהוצגה ב[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|פרק הקודם]], אולם, בפרק זה אנו נבטא יותר מושגים. חשוב לדעת את ההסברים יותר לעתיד מאשר לבגרות. <br />{{ש}}

# נקודת ההשקה מיוצגת כך : <math>[x, f(x)]</math> (זוהי, ההצגה המתמטית הנכונה לייצוג Yy של נקודה)

# הנקודה על הפונקציה ששואפת להיות הכי קרובה לנקודה : <math>[x_0+h, f(x_0+h]</math> .

# h - המרחק בין <math>x</math> ל- <math>x_0</math> .

נמצא את השיפוע. נזכיר כי מציאת שיפוע מתבצעת כך : <math>m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</math> .

נציב בנוסחא את שתי הנקודות ונקבל : <math>f'=\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}</math>

נצמצם : <math>f'=\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>

נזכיר כי : אנו רוצים שמרחק בין שתי הנקודות יהיה המרחק הקטן ביותר (=ישר גבולי), כיווןכיון ש'''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק'''. לכן, אנו אומרים על -פי "תורת הגבולות" :

# <math>{x_0\to x}</math>. - הנקודה השנייההשניה רוצה להיות בערכה שווה לנקודת ההשקה.

# <math>{h \to 0} </math> - המרחק בין שתי הנקודות <span style="color: BLUE;">שואף</span> להיות אפס.

לכן, נרשום : <math>f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>

זוהי הנוסחאהנוסחה למציאת נגזרת היא נקראת "הגדרת הנגזרת".

מצא את הנגזרת של הפונקציה : <math>y=x^2</math> על -פי הגדרת הנגזרת!

הנתונים שלנו :

# הנקודה השניה <math>[x_0+h, f(x_0+h)]</math> .

# שתי הנקודות על אותה פונקציה <math>y=x^2</math> .

הנקודה השנייה קיימת על הפונקציה ולכן מקיימת את המשוואה - נציב ערכי ונקבל : <math>[(x+h),(x+h)^2] </math> .

נציב בנוסחא : <math>f'=\lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>

נקבל : <math>f'=\lim_{h \to 0} \frac {(x_0+h)^2-x^2}{h}</math>

נפתח : <math>f'=\lim_{h \to 0} \frac {x^2+2xh+h^2-x^2}{h}</math>

כיווןכיון ש : <math>{h \to 0}</math>

התשובה היא : <math>f'=\lim_{h \to 0} = 2x</math>

מצא את נגזרת הפונקציה <math>y=x^2+1</math> על -פי הגדרת הנגזרת!

הנתונים שלנו :

# נקודת ההשקה היא <math>(x,x^2+1)</math>

# הנקודה השניה <math>[x_0+h, f(x_0+h]</math> .

# שתי הנקודות על אותה פונקציה <math>y=x^2+1</math> .

הנקודה השנייה קיימת על הפונקציה ולכן מקיימת את המשוואה - נציב ערכי ונקבל : <math>[(x+h) +1,(x+h)^2+1] </math> .

נציב בנוסחא : <math>f'=\lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>

נקבל : <math>f'=\lim_{h \to 0} \frac {[(x_0+h)^2+1]-(x^2+1)}{h}</math>

נפתח : <math>f'=\lim_{h \to 0} \frac {x^2+2xh+h^2+1-x^2-1}{h}</math>

כיווןכיון ש : <math>{h \to 0}</math>

התשובה היא : <math>f'=\lim_{h \to 0} = 2x</math>

[[קטגוריה : מתמטיקה לתיכון]]