מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית: הבדלים בין גרסאות בדף

*אם <math>\ z=a+bi</math> אז <math>\ \operatornamembox{Re}(z)=a</math> הוא החלק הממשי של <math>\ z</math> , ו- <math>\ \operatornamembox{Im}(z)=b</math> הוא החלק המדומה שלו.

\begin{matrix}5+4i&(5, 4) \\

\frac{4+5i}{3}&(\frac{4}{3}frac43, \frac{5}{3}frac53) \\

\sqrt{2}sqrt2+\sqrt{2}i&(\sqrt{2}sqrt2, \sqrt{2}sqrt2) \\

\end{matrix}</math>

זוגות של מספרים ממשיים אינם זרים למי שלמד [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית|גאומטריה אנליטית]] - ניתן לחשוב על כל נקודה במישור כעל זוג של מספרים ממשיים שמייצגים את הקוארדינטותהקואורדינאטות שלה על ציר <math>\ x</math> וציר <math>\ y</math> .

בדיוק באותה הצורה ניתן יהיה לחשוב על כל מספר מרוכב כעל מספר במישור. כדי לזכור שמדובר על מספרים מרוכבים ולא על המישור האוקלידי הרגיל נהוג לכנות את המישור הזה בתור '''המישור המרוכב''', ולסמן את הצירים שלו לא בתור <math>\ x,y</math> אלא בתור <math>\ \operatornamembox{Re,Im}</math> . כלומר, הציר האופקי הוא זה שעליו מודדים את גודל החלק הממשי של המספר, ועל הציר האנכי מודדים את החלק המדומה שלו.

יתר על כן, הדמיון בין המישור המרוכב למישור האוקלידי הרגיל מעניק לנו דרך לבנות את המספרים המרוכבים מבלי "להמציא" את <math>\ i</math> . נראה זאת ביתר פירוט בפרק הבא.

ניתן לדבר גם על קבוצות של מספרים מרוכבים ולא רק על מספרים בודדים. בתמונה הבאה של המישור המרוכב, החלק הכהה מסמן את הקבוצה שמכילה את כל המספרים המרוכבים שהן החלק הממשי והן החלק המדומה שלהם הם בין <math>\ -1</math> ו- <math>\ 1</math> :

*<math>\ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}</math>.

ראשית, נצפה שהמרחק יהיה תמיד מספר ממשי חיובי. זאת מכיווןמכיון שאורך של קו הוא תמיד מספר ממשי וחיובי.

שלישית, נצפה שהמרחק מנקודה <math>\ a</math> לנקודה <math>\ b</math> יהיה זהה למרחק מנקודה <math>\ b</math> לנקודה <math>\ a</math> . זאת מכיווןמכיון שאורך של קו לא תלוי בשאלה האם אנחנו מותחים אותו מהנקודה הראשונה לשנייה, או מהנקודה השנייה לראשונה.

התכונה הרביעית, שמכונה '''אי -שוויון המשולש''' היא הפחות אינטואיטיבית מבין כל התכונות. היא אומרת דבר כזה: המרחק שבין שתי נקודות יהיה קטן או שווה לסכום המרחקים של שתי הנקודות מנקודת ביניים שלישית.

כעת ניתן לראות כיצד נכנס המשולש לתמונה. נניח שיש לנו שתי נקודות - <math>\ a,b</math> , ואנו מותחים בינן קו. כעת נוסיף נקודה שלישית: <math>\ c</math> , ונחבר אותה בקווים לנקודות <math>\ a,b</math> . נקבל משולש.

תכונה ידועה מהגאומטריה האוקלידית היא שבמשולש, סכום של שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. מתכונה זו עולה כי הקו הישר שמחבר את <math>\ a,b</math> קצר מסכום אורכי הקווים שמחברים את <math>\ c</math> עם שתי הנקודות. כלומר, מעבר דרך <math>\ c</math> אינו יכול לשמש כ"דרך קיצור". שוויון יתקיים רק כאשר הנקודה <math>\ c</math> תהיה '''על''' הקו שמחבר את <math>\ a,b</math> ובמקרה זה המשולש שנקבל יהיה "מנוון" - שטחו יהיה אפס.

*הערך המוחלט של מספר מרוכב <math>\ z</math> הוא אורך הישר שמחבר את הנקודה שמייצגת אותו במישור המרוכב עם ראשית הצירים.

מכיווןמכיון שכבר ראינו שהמישור המרוכב הוא למעשה דרך אחרת להתבונן על המישור האוקלידי, התכונות מהמישור האוקלידי מתקיימות עבור ההגדרה שלנו. לכן הערך המוחלט של מספר מרוכב הוא מרחקו מאפס והוא מקיים את כל התכונות שניתן לצפות להן ממרחק.

נותר לראות מדוע המרחק של <math>\ z</math> מראשית הצירים יוצא דווקא <math>\ \sqrt{a^2+b^2}</math> . תוצאה זו מתקבלת ממשפט פיתגורס: במשולש ישר זווית-זוית שהצלעות המאונכות בו הן <math>\ a,b</math> והיתר בו הוא <math>\ c</math> מתקיים <math>\ a^2+b^2=c^2</math> .

אם נסתכל על נקודה במישור המרוכב נוריד עבורה אנך לציר <math>\ mbox{Re}</math> ונחבר אותה עם ראשית הצירים, נראה כי קיבלנו משולש ישר זווית-זוית שהיתר שלו היא הישר שמחבר את הנקודה עם הראשית, ואורך הצלעות המאונכות בו הוא בדיוק החלק הממשי והחלק המדומה של המספר. משפט פיתגורס נותן מיידית את התוצאה המבוקשת.

כבר ראינו כי ניתן לראות כל מספר מרוכב כנקודה במישור. אנו נוהגים לתאר נקודות במישור באמצעות קוארדינטותקואורדינאטות שנקראות '''קרטזיות''' (על שם הפילוסוף והמתמטיקאי רנה דקארט שהמציא אותן) שמורכבת משני מספרים: קוארדינטתקואורדינאטת <math>\ x</math> וקוארדינטתוקואורדינאטת <math>\ y</math> , שמתארות את המרחק מראשית הצירים שאנו הולכים במקביל לציר <math>\ y </math> ובמקביל לציר <math>\ x</math> כדי להגיע עד לנקודה.

נביט בנקודה כלשהי במישור ונחבר אותה עם קו ישר אל ראשית הצירים. נסתכל על הקו שקיבלנו. יש לו שתי תכונות ברורות: ראשית, יש לו אורך מסוייםמסוים. שנית, הוא יוצר זוויתזוית עם ציר <math>\ x</math> .למעשה הוא יוצר '''שתי''' זוויותזויות עם ציר <math>\ x</math> , שמשלימות זו את זו ל- 360 מעלות. לכן די בידיעה של אחת מהזוויותמהזויות כדי לדעת מהי הזוויתהזוית השניה. נבחר תמיד את הזוויתהזוית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר <math>\ x</math> - כלומר, את הזוויתהזוית שמתקבלת אם "מסובבים" את הישר עם כיוון השעון עד שהוא נח על ציר <math>\ x</math> ופונה ימינה.

מכאן שאם נדע אורך של ישר ואת הזוויתהזוית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר <math>\ x</math> , נוכל לתאר במדויק את אותו ישר, ולכן גם את הנקודה שבקצהו. לכן במקום לתאר נקודה עם קוארדינטותקואורדינאטות קרטזיות ניתן לתאר אותה באמצעות אורך וזוויתוזוית, וזוהי בדיוק מהות ההצגה הקוטבית.

נניח שנתון לנו מספר מרוכב <math>\ a+bi</math> , כלומר הקוארדינטותהקואורדינאטות הקרטזיות שלו במישור המרוכב הן <math>\ (a,b)</math> . אנחנו רוצים לדעת מהי ההצגה הקוטבית שלו. כיצד נמצא אותה?

ראשית, את אורכו של הישר קל לנו למצוא. כזכור, אורך זה הוא בדיוק הערך המוחלט של המספר המרוכב, כלומר <math>\ \sqrt{a^2+b^2}</math> . לתוצאה זו הגענו על -פי משפט פיתגורס. נהוג לסמן את האורך על-ידי האות <math>\ r</math> .

כדי למצוא את הזוויתהזוית נצייר את המשולש ששימש אותנו גם בשימוש במשפט פיתגורס. במשולש זה נראה כי טנגנס הזוויתהזוית שאנו מחפשים הוא בדיוק היחס <math> \frac{b}{a}</math> . לכן הזוויתהזוית שלנו נתונה על-ידי <math> \tan(\theta)=\frac{b}{a}</math> (בשביל הזוויתהזוית אנו משתמשים באות היוונית תטא). למשוואה זו יש שני פתרונות שונים בקטע <math>\ [0^\circ,360^\circ]</math> , וכדי לבחור את הזוויתהזוית הנכונה אנחנו צריכים לבחור את זו שמתאימה לרביע שבו נמצא המספר שלנו. כזכור מטריגונומטריה, ניתן למצוא את הרביע על -פי הסימנים של <math>\ a,b</math> :

*<math>\ a,b>0</math> - רביע ראשון (<math>\ [0^\circ,90^\circ]</math>).

*<math>\ a<0,b>0</math> - רביע שני (<math>\ [90^\circ,180^\circ]</math>).

*<math>\ a,b<0</math> - רביע שלישי (<math>\ [180^\circ,270^\circ]</math>).

*<math>\ a>0,b<0</math> - רביע רביעי (<math>\ [270^\circ,360^\circ]</math>).

בעיה יכולה להתעורר כאשר <math>\ a=0</math> , כי הרי אז הביטוי <math> \frac{b}{a}</math> אינו מוגדר. נשים לב כי אם <math>\ a=0</math>, הישר שלנו הוא אנכי, ולכן הזוויותהזויות שהוא יוצר היא של <math>\ 90^\circ</math> במקרה שבו כיוונו הוא כלפי מעלה, כלומר <math>\ b>0</math> , ושל <math>\ 270^\circ</math> כאשר <math>\ b<0</math> . במקרה שבו גם <math>\ a=0</math> וגם <math>\ b=0</math> (כלומר המספר המרוכב שלנו הוא 0) נהוג להותיר את הזוויתהזוית בלתי -מוגדרת.

:<math>\ xy=r\cossin\theta</math>

בהתבסס על נוסחאות אלו, אם נתון לנו המספר המרוכב <math>\ z=a+bi</math> וחישבנו את הזווית והאורך שלו, ניתן לכתוב אותו כך:

:<math>\ z=r\cos(\theta)+i\cdot r\sin(\theta)=r\cdot\leftBig[\cos(\theta)+i\sin(\theta)\rightBig]</math> .

<math>\ \cos(\theta)+i\sin(\theta)=\mathrmmbox{cis}(\theta)</math> .

ולכן מספר מרוכב יכול להיכתב בקיצור בצורה קוטבית על -ידי:

<math>\ z=r\cdot \mathrmmbox{cis}(\theta)</math> .

את הזוויתהזוית נהוג לכנות לפעמים בתור '''הארגומנט''' של המספר המרוכב, אולם כאן חבויה בעיה בשימוש בה' הידיעה, שכן למספר מרוכב יש למעשה אינסוף זוויותזויות שמתאימות לו. זאת מכיוון שפונקציות הסינוס והקוסינוס הן מחזוריות, וכל 360 מעלות הן חוזרות על עצמן. מכאן שאם למספר מרוכב מתאימה זוויתזוית כלשהי, גם כל זוויתזוית אחרת שהתקבלה על ידי חיבור או חיסור כפולות של 360 מעלות תיתן את אותן התוצאות בדיוק. על כן בוחרים בתור '''ה'''ארגומנט את הזוויתהזוית שנמצאת בתחום שבין 0 ל- 360 מעלות.

למספר <math>\ e=2.7183\dots</math> המכונה '''בסיס הלוגריתם הטבעי''' יש חשיבות רבה במתמטיקה, והוא מופיע בהקשרים שונים ומשונים. בחלק זה נלמד על אחד מהקשרים אלו.

הפונקציה <math>\ f(x)=e^x</math> מתאימה לכל מספר ממשי את <math>\ e</math> מועלה בחזקה שלו. באופן טבעי עולה השאלה: מה יקרה אם במקום מספר ממשי <math>\ x</math> נשתמש במספר מרוכב? כלומר, לכמה שווה <math> e^{a+bi}</math> ?

ממבט ראשון השאלה עלולה להיראות חסרת פשר. לא ברור איזו משמעות ניתן לייחס למעריך שהוא מספר מרוכב. עם זאת, אין זה אומר שלא ניתן למצוא משמעות שכזו. כדאי לזכור כי גם <math>\ e^{\sqrt{2}}sqrt2</math> אינה חזקה שאנו רגילים לה באלגברה הבסיסית, בה אנחנו עובדים עם חזקות שהן מספרים רציונליים בלבד.

אחת התגליות החשובות שגילה המתמטיקאי לאונרד אוילר (מהמתמטיקאים הפורים ביותר בכל הזמנים) הייתההיתה המשמעות של אותה חזקה. מתברר כי מתקיימת הנוסחה הבאה:

:<math>\ e^{\theta i}=\cos({\theta})+i\sin({\theta})</math>

הוכחת נוסחה זו דורשת ידע ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] ובפרט בתחום העוסק ב[[טור טיילור|טורי טיילור]]. בסוף חלק זה נראה את רעיון ההוכחה, אך לא נוכיח את הנוסחה בצורה מדוייקתמדויקת לחלוטין. לעת עתה ננסה להבין את משמעות הנוסחה.

מהנוסחה עולה כי <math>\ e</math> בחזקת מספר מרוכב הוא בעצמו מספר מרוכב. מהנוסחה עוד עולה כי ניתן לתאר כל מספר הנתון בהצגה קוטבית בתור חזקה של <math>\ e</math> :

:<math> r \cdot \Big[\cos({\theta})+i\sin({\theta})\Big] = r \cdot e^{\theta i}</math> .

בעזרת שימוש בחוקי החזקות הבסיסיים, קל לחשב את החזקה של <math>\ e</math> עבור מספר מרוכב שנתון בצורה <math>\ a+bi</math> :

:<math>\ e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}=e^a\cdot \mathrmmbox{cis}(b)</math>

כלומר, <math>\ e</math> בחזקת המספר <math>\ a+bi</math> הוא מספר מרוכב שאורכו <math>\ e^{a}</math> והזוויתוהזוית שלו עם הכיוון החיובי של ציר <math>\ x</math> היא <math>\ b</math> . הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקורית של <math>\ e</math> עבור מספרים ממשיים בלבד: כאשר <math>\ b=0</math> נקבל את המספר הממשי <math>\ e^a</math> .

מקרה פרטי של השימוש בנוסחת אוילר הוא כאשר <math>\ \theta=\pi</math> . במקרה זה נקבל:

:<math>\ e^{\pi i}=\cos({\pi})+i\sin({\pi})=-1</math>.

על -ידי העברת אגפים נקבל את הזהות:

:<math>\ e^{\pi i}+1=0</math> .

זהות זו מכונה '''זהות אוילר''' ונחשבת בעינייבעיני רבים לאחת מהזהויות היפות במתמטיקה. היא קושרת יחד חמישה מהמספרים הבסיסיים ביותר במתמטיקה: <math>\ 0</math> , שהוא המספר הנייטרלי ביחס לחיבור, <math>\ 1</math> שהוא המספר הנייטרלי ביחס לכפל, <math>\ \pi</math> שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, <math>\ e</math> ו- <math>\ i</math> .

בחלק זה נראה את רעיון ההוכחה של נוסחת אוילר. ההוכחה מתבססת על התכונה <math>\ i^2=-1</math> ועל טור הטיילור של הפונקציות <math>\ e^x,\sin(x),\cos(x)</math> .

למשל, טור הטיילור של <math>\ e^x</math> הוא זה:

:<math> e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots</math>

האיברהאבר הימני ביותר בטור, זה שבו מופיע <math>\ n</math> , נקרא '''האיברהאבר הכללי''' של הטור. כל איבראבר בטור הוא מהצורה של האיברהאבר הכללי, עבור ערכים שונים של <math>\ n</math> , כאשר <math>\ n</math> הוא מספר טבעי או אפס. נסו להציב את הערכים <math> n=0,1,2,3,4</math> ותראו שאתם אכן מקבלים את האיבריםהאברים הראשונים בטור.

כעת נסו להציב <math>\ x=1</math> והתחילו לחבר את אברי הטור. תראו כי הסכום שאתם מקבלים הולך ומתקרב לערכו של <math>\ e</math> . ככל שתחברו יותר איבריםאברים כך תגדל רמת הדיוק שלכם, עד שלבסוף תעברו את הדיוק של מחשבוני כיס. אכן, אחת הדרכים שבה מחשבון יכול לחשב ערכים של פונקציות היא באמצעות טור הטיילור שלהן. מכיווןכיון שהטור הוא אינסופי התוצאה שתתקבל לא תהיה מדוייקתמדויקת - אבל עבור פונקציות רבות, ניתן להשתמש בטורי טיילור שלהן כדי לקבל תוצאה שקרובה לערך האמיתי בכל רמת דיוק שנרצה.

:<math>\ \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math>

:<math>\ \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math>

קרוב לודאי שאתם שמים לב לדמיון בין הטור של <math>\ e^x</math> לטורים של סינוס וקוסינוס. קשר זה אינו מקרי, כמובן.

כעת נראה מה קורה כאשר אנו מציבים בטור של <math>\ e^x</math> מספר מרוכב - כלומר, נציב <math>\ x=i\theta</math> . נקבל:

:<math> {e^{\theta i}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(5i)^5}{5!}+\cdots=1+i\theta+\frac{-\theta^2}{2!}+\frac{-i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}+\cdots=}</math>

:<math> =\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\dots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\dots\right)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)</math>