מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הצמוד המרוכב והערך המוחלט: הבדלים בין גרסאות בדף

בפרק הקודם ראינו כי לכל מספר מרוכב <math>\ z=a+bi</math> ניתן להתאים מספר שנקרא '''הצמוד''' שלו. נסמנו <math>\ \bar{z}</math> (קו מעל הסימן שמסמל את המספר), והוא יוגדר כך: <math>\ \bar{z}=a-bi</math> . כלומר, הצמוד של מספר כלשהו הוא מספר שזהה לו פרט לסימן החלק המדומה שלו.

#<math>\ \overlinebar{(\overlinebar{z})}=z</math> . כלומר, הצמוד של הצמוד של <math>\ z</math> הוא <math>\ z</math> עצמו.

#<math>\ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math> . כלומר, הצמוד של סכום של מספרים מרוכבים הוא הסכום של הצמודים של אותם מספרים.

#<math>\ \overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math> . כלומר, הצמוד של מכפלה של מספרים מרוכבים הוא המכפלה של הצמודים של אותם מספרים.

#<math>\ z+\bar{z}=2\cdot \mbox{Re}(z)</math> . כלומר, הסכום של מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים החלק הממשי של אותו מספר.

#<math>\ z-\bar{z}=2i\cdot \mbox{Im}(z)</math> . כלומר, ההפרש בין מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים המספר המדומה <math>\ i</math> כפול החלק המדומה של <math>\ z</math> .

#מתקיים <math>\ z=\bar{z}</math> אם ורק אם <math>\ z</math> הוא מספר ממשי. כלומר, אם מספר מרוכב שווה לצמוד שלו הוא ממשי, וכל מספר ממשי שווה לצמוד שלו.

לא קשה להוכיח תכונות אלו - נסו לעשות זאת בעצמכם על-ידי כתיבת המספר <math>\ z</math> בצורה המפורשת <math>\ z=a+bi</math> .

כזכור, ב[[../הגדרת המספרים המרוכבים|הקדמה]], הגדרנו את הערך המוחלט עבור מספר מרוכב בצורה הבאה: אם <math>\ z=a+bi</math> אז <math>\ |z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> .

#<math>\ |z|=|\bar{z}|</math> . כלומר, הערך המוחלט של מספר זהה לערך המוחלט של הצמוד שלו.

#<math>\ z\cdot\bar{z}=|z|^2</math> . כלומר, מספר כפול הצמוד שלו שווה לערך המוחלט שלו בריבוע. בפרט זהו מספר ממשי שכן הערך המוחלט של מספר הוא תמיד ממשי.

כדי לראות שהתכונה השנייההשניה מתקיימת, נשים לב כי <math>\ z\cdot\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2</math> .

נשים לב כי זוהי התכונה שעל קיומה עמדנו בפרק הקודם, ובה השתמשנו כדי לחשב את המנה <math>\ \frac{1}frac1{z}</math> . כעת נשתמש בתכונות שראינו ונכתוב בצורה כללית:

*אם <math>\ z\ne 0</math> אז <math>\ \frac{1}frac1{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}</math> .

למעשה לא חידשנו כאן דבר - ההוכחה של תכונה זו היא מיידית וזהה ל"תעלול" שנקטנו בפרק הקודם. פשוט נכפול את המונה והמכנה של השבר <math>\ \frac{1}frac1{z}</math> בצמוד של <math>\ z</math> , ובכך לא נשנה את ערך המספר כי אנו כופלים אותו ב-1.

נשים לב כי הדרישה <math>\ z\ne 0</math> היא הכרחית מהטעם הפשוט שאין מובן לביטוי <math>\ \frac{1}{0}frac10</math> והוא נותר לרוב בלתי -מוגדר.

#<math>\ |z|\ge 0</math> ומתקיים <math>\ |z|=0</math> אם ורק אם <math>\ z=0</math> .

#<math>\ Big|z_1 \cdot z_2\Big|=|z_1| \cdot |z_2|</math> .

#<math>\ Big|z_1+z_2\Big|\le |z_1|+|z_2|</math> .

#<math>\ |-z|=|z|</math> .