מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
שורה 4:
בהמשך נלמד כיצד ניתן להוציא שורש מכל סדר שהוא, אולם כעת נלמד טכניקה להוצאת שורשים ריבועיים שלעתים קרובות יכולה להיות נוחה יותר לשימוש מאשר הטכניקה הכללית.
 
נניח כי אנו רוצים למצוא את שני השורשים של המספר המרוכב <math>\ z=a+bi</math> . אנחנו מנחשים שהשורשים גם הם מספרים מרוכבים. בעקרון יש להוכיח כי ניחוש כזה הוא לגיטימי, אולם נדחה את ההוכחה למקרה הכללי. נניח אם כן כי <math>\ x+yi</math> הוא מספר מרוכב שמהווה את אחד מהשורשים וננסה לראות מהם ערכי <math>\ x,y</math> .
 
מכיווןכיון ש- <math>\ x+yi=\sqrt{a+bi}</math> צריך להתקיים השוויון הבא:
 
<math> (x+yi)^2=a+bi</math>
 
נפתח את הסוגריים באגף שמאל ונקבל:
 
<math> x^2-y^2+2xyi=a+bi</math>
 
יש לנו שני משתנים <math>\ x,y</math> ולכאורה רק משוואה אחת, אולם בפועל בתוך המשוואה חבויות שתי משוואות. מכיווןכיון ש- <math>\ x,y,a,b</math> כולם מספרים ממשיים ניתן להשוות בנפרד את החלק הממשי והחלק המדומה של המספרים שמשני צדי השוויון. נקבל את שתי המשוואות הבאות:
 
#<math> x^2-y^2=a</math>
#<math> 2xy=b</math>
 
לאחר פתרון מערכת המשוואות הזו נקבל את השורשים המבוקשים.
 
===דוגמהדוגמא===
נניח שאנו מחפשים את <math>\ \sqrt{5+12i}</math> . על-פי השיטה שהראינו, נקבל את מערכת המשוואות הבאה:
 
#<math> x^2-y^2=5</math>
#<math> 2xy=12</math>
 
מהמשוואה השנייההשניה נחלץ את <math>\ x</math> :
 
<math> x=\frac{6}frac6{y}</math>
 
נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
 
<math> \frac{36}{y^2}-y^2=5</math>
 
נקבל את המשוואה הבאה:
 
<math> y^4+5y^2-36=0</math>
 
נגדיר <math> t=y^2</math> וקיבלנו משוואה ריבועיות רגילה:
 
<math> t^2+5t-36=0</math>
 
פתרונות המשוואה הם <math> t_{1,2}=4,-9</math> . מכיווןכיון ש- <math>\ y</math> הוא מספר ממשי הפתרון <math>\ y^2=-9</math> אינו קביל, ולכן <math> y_{1,2}=\pm 2</math> הם הפתרונות היחידים, ולהם מתאימים הפתרונות <math> x_{1,2}=\pm 3</math> .
 
קיבלנו כי <math>\ \sqrt{5+12i}=\pm(3+2i)</math> .
 
==פתרון משוואות ריבועיות==
כעת נראה דוגמהדוגמא לפתרון משוואה ריבועית. באופן כללי הרעיון זהה לרעיון של פתרון משוואות ריבועיות במספרים ממשיים: אם <math> az^2+bz+c=0</math> היא המשוואה, אז שני הפתרונות נתונים על-ידי:
 
<math>\ z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
 
כל המקדמים (<math>\ a,b,c</math>) יכולים להיות מספרים מרוכבים, ולכן לצורך הפתרון נזדקק לכל מה שלמדנו עד עתה: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש.
 
נפתור את המשוואה הריבועיות <math> z^2+(1+2i)z-2-2i</math>
 
במקרה זה:
 
<math>\ a=1\ ,\ b=1+2i\ ,\ c=-(2+2i)</math>
 
הדיסקרימיננטה היא:
 
<math> b^2-4ac=(1+2i)^2+4(2+2i)=1+4i-4+8+8i=5+12i</math>
 
וכבר ראינו כי <math>\ \sqrt{5+12i}=\pm(3+2i)</math> . לכן נקבל:
 
<math> z_{1,2}=\frac{-1-2i\pm(3+2i)}{2}</math> ונקבל את שני הפתרונות:
 
<math> z_1=1 ,z_2=(-2-2i)</math>
 
==נוסחאות וייטה==
שורה 77:
תהא <math> az^2+bz+c</math> משוואה ריבועית. על פי הנוסחה הכללית לפתרון המשוואה, שני הפתרונות הם:
 
<math>\ z_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ , \ z_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
 
ולכן:
 
<math>\ z_1+z_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}</math>
 
<math>\ z_1 \cdot z_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}</math>
 
קיבלנו את שתי נוסחאות וייטה:
 
#<math> z_1+z_2=-\frac{b}{a}</math>
#<math>\ z_1 \cdot z_2=\frac{c}{a}</math>
 
{{תוכן