אלגברה לינארית/דרגה של מטריצה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
==מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס==
תהי <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז ניתן להגדיר את המושגים הבאים:{{ש}}
'''<u>מרחב השורות של A</u>''' זהו המרחב הנפרש ע"י שורות המטריצה. כלומר, אם <math>R_1(A),R_2(A),...\dots,R_m(A)</math> שורות המטריצה A אז מרחב השורות הוא <math>R(A)=\operatornamembox{span}\{R_1,R_2,...\dots,R_m\}</math> . מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\{vA|v\in \mathbb{F}^{1\times m}\}</math> או <math>\{A^tv|v\in \mathbb{F}^m\}</math>
 
'''<u>מרחב העמודות של A</u>''' זהו המרחב הנפרש ע"י עמודות המטריצה. כלומר, אם <math>C_1(A),C_2(A),...\dots,C_n(A)</math> שורות המטריצה A אז מרחב השורות הוא <math>C(A)=\operatornamembox{span}\{C_1,C_2,...\dots,C_n\}</math> . מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\{Av|v\in \mathbb{F}^n\}</math> . נראה כי מימד מרחב העמודות הוא תמיד מספר המשתנים התלויים במערכת <math>Ax=0</math> .
 
'''<u>מרחב האפס</u>''' הוא מרחב כל הוקטורים שמאפסים את A. כלומר, <math>N(A)=\{v\in \mathbb{F}^n|Av=0\}</math> . נראה כי מימד מרחב השורות הוא תמיד מספר המשתנים החופשיים במערכת <math>Ax=0</math> .
 
כידוע, תמיד מספר המשתנים התלויים + מספר המשתנים החופשיים = מספר העמודות ולכן מתקבל:{{ש}}
<math>\dim C(A) + \dim N(A)= n</math>{{ש}}
'''משפט:''' <math>\dim C(A)=\dim R(A)</math>{{ש}}
 
==דרגה==
דרגה של מטריצה היא מספר השורות שאינן 0 בצורה המדורגת קנונית שלה. נסמן <math>r(A)</math> או <math>\operatornamembox{rank}(A)</math> . נראה כי: <math>r(A)=\dim R(A)</math> כיון שפעולת שורה לא משנה את מרחב השורות. לכן, <math>r(A)=\dim R(A)= \dim C(A) = n-\dim N(A)</math>
 
מתקיים: <math>r(AB) \le \min\{r(A),r(B)\}</math>
 
תהי A מטריצה ריבועית אז התנאים הבאים שקולים:{{ש}}
* <math>r(A)=n</math>
* A הפיכה
* לכל <math>b\in\mathbb{F}^n</math> , למערכת <math>Ax=b</math> קיים פתרון והוא יחיד
* <math>N(A)=\{0\}</math>
* <math>C(A)=\mathbb{F}^n</math>
 
 
[[קטגוריה: אלגברה לינארית]]