מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפט פיתגורס: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
[[קובץ:Pythagorean theorem abc.svg|ממוזער|מרכז|150px|על פי משפט פיתגורס: במשולש ישר -זוית בעל שני ניצבים a ו-b שווה היתר c:
 
<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
[[קובץ:Pythagorean theorem abc.svg|ממוזער|מרכז|150px|על פי משפט פיתגורס: במשולש ישר זוית בעל שני ניצבים a ו-b שווה היתר c:
<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
]]
 
 
== הוכחת משפט פיתגורס ==
[[Image:Pythagoras proof.svg|ימיןשמאל|200px]]
תארו לעצמכם ריבוע קטן בתוך ריבוע גדול. הריבוע הקטן מוטה כך שכל קודקודיו נוגעים בצלעות הריבוע הגדול. <br>
 
(ראו תמונה בקישורים חיצוניים)<br />אנו נוכיח שהמשולשים שנוצרו חופפים, וידוע לנו שהם ישרי זויות. אנו נציב את ערכי הניצבים כ-<math>a</math> ו-<math>b</math>, ואת ערך היתר <math>c</math>. בסוף נגיע ע"י אלגברה לביטוי <math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>.<br />
(ראו תמונה בקישורים חיצוניים)
 
(ראו תמונה בקישורים חיצוניים)<br />אנו נוכיח שהמשולשים שנוצרו חופפים, וידוע לנו שהם ישרי -זויות. אנו נציב את ערכי הניצבים כ- <math>a</math> ו- <math>b</math> , ואת ערך היתר <math>c</math> . בסוף נגיע ע"י אלגברה לביטוי <math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math> .<br />
 
נוכיח שהמשולשים החיצוניים שנוצרו חופפים:
ניקח את אחת מנק החיבור. אנו יודעים שהזוית האמצעית שווה לתשעים מעלות כי היא זוית של הריבוע הקטן.
נסמן ב- <math>\alpha</math> את הזוית מצד אחד של הזוית האמצעית. לאחר חישוב מהיר נגיע לכך שהזוית מהצד השני שווה <math>90 ^\circ- \alpha</math><br />
 
<math>\beta = 180 - 90 - \alpha = 90 - \alpha</math>
<math>\beta=180^\circ-90^\circ-\alpha=90^\circ-\alpha</math>

נסתכל על המשולש שבתוכו נמצאת הזוית האחרונה שמצאנו, <math>90 ^\circ- \alpha</math><br />
 
אנו יודעים שהזוית של הריבוע הגדול שווה תשעים90° מעלות, ובחישוב מהיר נוסף נגיע לכך שהזוית השלישית במשולש זה שווה <math>\alpha</math> .<br />
<math>\gamma = 180 - 90 - (90-\alpha) = \alpha</math>
 
אנו יודעים שהזוית הצמודה לזוית זו שווה תשעים מעלות גם כן (זוית של הריבוע הקטן).<br />ניתן לחזור על הפעולות לעיל עד שמוכיחים שכל המשלושים חופפים, מכיוון שאנו יודעים בכל משולש את ערך שני זויות וצלע שביניהן (צלע הריבוע הקטן).
<math>\beta gamma= 180 ^\circ- 90 ^\circ-(90^\circ- \alpha )= 90 - \alpha</math>
אנו יודעים שהזוית הצמודה לזוית זו שווה תשעים מעלות גם כן (זוית של הריבוע הקטן).
 
אנו יודעים שהזוית הצמודה לזוית זו שווה תשעים מעלות גם כן (זוית של הריבוע הקטן).<br />ניתן לחזור על הפעולות לעיל עד שמוכיחים שכל המשלושים חופפים, מכיווןמכיון שאנו יודעים בכל משולש את ערך שני זויות וצלע שביניהן (צלע הריבוע הקטן).
 
נסמן במשולשים את הניצבים באותיות <math>a</math> ו- <math>b</math> , ואת צלע הריבוע הקטן בתור <math>c</math> . ניתן לראות בתמונה למעלה איך זה נראה.<br /><br />
 
כעת, צלע הריבוע הגדול שווה <math>a+b</math> וצלע הריבוע הקטן היא <math>c</math>.<br />.
 
נחשב מספר שטחים שניתן למצוא:<br />שטח כל משולש <math>S1 = \left( \frac{ab}{2ש}} \right)</math><br />
נחבר את שטחישטח כל המשולשים:משולש <math>4\cdot S1S_1 = 4\left( \frac{ab}{2} \right) = 2ab</math><br />
 
שטח הריבוע הגדול <math>S{2} S_2= ( a + b )^2 = a^2 + 2 a b 2ab+ b^2</math><br />
 
שטח הריבוע הקטן <math>S3 S_3= c^2</math>
 
נחבר את שטחי כל המשולשים: <math>4S_1=4\left(\frac{ab}{2}\right)=2ab</math>
 
ערך זה נמצא גם במשוואה של <math>S2S_2</math> . <br />
 
<br />נחזור לשירטוטלשרטוט. אם נחסיר את שטחי המשולשים מהריבוע הגדול, ע"פ השרטוט, נקבל את שטח הריבוע הקטן. לכן, נחסיר את שטח סה"כ המשולשים משטח הריבוע הגדול:<br /><math>S4 = a^2 +2ab+b^2-2ab = a^2 +b^2</math>.
 
<math>S_4=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2</math> .
מקודם הגענו למסקנה שהביטוי שמתקבל פה, שווה לשטח הריבוע הקטן, שהוא <math>S3 S_3= c^2</math>
 
לכן נשווה: <math>c^2 = a^2 + b^2</math> . נוציא שורש ונקבל:<br /><math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math> . מש"ל.
נסמן במשולשים את הניצבים באותיות <math>a</math> ו-<math>b</math>, ואת צלע הריבוע הקטן בתור <math>c</math>. ניתן לראות בתמונה למעלה איך זה נראה.<br /><br />
כעת, צלע הריבוע הגדול שווה <math>a+b</math> וצלע הריבוע הקטן היא <math>c</math>.<br />
נחשב מספר שטחים שניתן למצוא:<br />שטח כל משולש <math>S1 = \left( \frac{ab}{2} \right)</math><br />
שטח הריבוע הגדול <math>S{2} = ( a + b )^2 = a^2 + 2 a b + b^2</math><br />
שטח הריבוע הקטן <math>S3 = c^2</math>
<br /><br />
נחבר את שטחי כל המשולשים: <math>4\cdot S1 = 4\left( \frac{ab}{2} \right) = 2ab</math><br />
ערך זה נמצא גם במשוואה של <math>S2</math>. <br />
<br />נחזור לשירטוט. אם נחסיר את שטחי המשולשים מהריבוע הגדול, ע"פ השרטוט, נקבל את שטח הריבוע הקטן. לכן, נחסיר את שטח סה"כ המשולשים משטח הריבוע הגדול:<br /><math>S4 = a^2 +2ab+b^2-2ab = a^2 +b^2</math>.
מקודם הגענו למסקנה שהביטוי שמתקבל פה, שווה לשטח הריבוע הקטן, שהוא <math>S3 = c^2</math>
<br />
לכן נשווה: <math>c^2 = a^2 + b^2</math>. נוציא שורש ונקבל:<br /><math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
<br />מש"ל.
 
== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Pythagorean theorem|שם ויקישיתוף=משפט פיתגורס|ויקיפדיה=משפט פיתגורס}}