מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 5.29.156.92 (שיחה) לעריכה האחרונה של איש הסילונים |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
==מהי משוואה ריבועית==
<math>\;a\ne0</math> ▼
▲ו <math>\;a,b</math> וגם <math>\;c</math> הם מספרים קבועים (יתכן והם יופיעו בצורה מפורשת - כלומר מספרים כמו 1 או 3 וגם יתכן שהם יופיעו בצורה פרמטרית, כלומר כאותיות, במקרה זה יש לשים לב שאנו מתייחסים אל האותיות הללו כמספרים קבועים ולא כנעלמים. אנו מחפשים את הערך של <math>\;x</math> ולא של <math>\;a</math> למשל). זו משוואה לא לינארית (הנעלם מופיע בה בחזקה שניה). <br>
למשוואה ריבועית יכולים להיות:
*שני פתרונות (כלומר שני מספרים שאם נציב אותם במקום <math>
*פתרון אחד.
*אין אף פתרון (במספרים ממשיים) כלומר, אין אף מספר שניתן להציב במקום <math>
ניתן לפתור כל משוואה ריבועית או לפחות להגיע לקביעה שאין פתרון ממשי. הפתרון מתבסס על הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית שעליה נדבר בהמשך. הנוסחא היא הדרך ה'''בטוחה''' לפתור כל סוג של משוואה ריבועית אך היא אינה הדרך הקצרה ביותר או הפשוטה ביותר. במקרים רבים קל יותר לנצל את
<center>
<math>x^2+5x-14=0</math>
</center>
אך ראשית נסביר את הבעייתיות שמופיעה מרגע שנוספת חזקה שניה של הנעלם למשוואה.
לפני שנתחיל לעבוד על משוואה ריבועית עלינו לסדר אותה, כלומר להעביר את כל האיברים לאגף אחד
=מציאת פתרונות למשוואה ריבועית=
==פתרון על
כעת נדון בפעולה בעלת חשיבות רבה, אם כי, היא איננה פעולה מותרת במובן שהגדרנו. פעולה זו היא '''הוצאת שורש'''. בפעולה זו אנו מפעילים את הפעולה המתמטית של מציאת שורש ריבועי על שני אגפי המשוואה על
ראשית, נזכיר מהו שורש ריבועי. שורש ריבועי הינו הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע כלומר, השורש של מספר הוא המספר שאותו, אם נעלה בריבוע נקבל את המספר המקורי. לפרטים נוספים חזור לפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חזקות ושורשים|חזקות ושורשים]].
עלינו לשים לב שכאן ישנו מלכוד משום שלמעשה ישנם שני מספרים '''שונים''' אשר יכולים להוות שורש של מספר אחר. למשל במקרה של המספר 81, המספרים <math>\;9</math> וגם <math>\;-9</math> שניהם יכולים להיות השורש. במתמטיקה נהוג לבחור באופן שרירותי את הפתרון החיובי אך במשוואות עלינו להיות מדוייקים יותר, שכן גם <math>\;-9</math> וגם <math>\;9</math> הם שורשים של 81. ▼
▲עלינו לשים לב שכאן ישנו מלכוד משום שלמעשה ישנם שני מספרים '''שונים''' אשר יכולים להוות שורש של מספר אחר. למשל במקרה של המספר 81, המספרים <math>
מכיוון שכך, עלינו לשים לב שבפעולת הוצאת השורש אנו לא מאבדים פתרונות. על כן, אם נתונה המשוואה:▼
<center>
<math>x^2=81</math>
</center>
הפתרון הוא:
<center>
<math>x_{1,2}=\pm 9</math>
</center>
ו'''לא''', כפי שתלמידים רבים טועים: <math>
==פתרון על
נחזור למשוואה שהצגנו בראש העמוד. נתחיל את פתרון המשוואה בפירוק הטרינום לבינומים כפי שהוצג בפרק ה[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום|טרינום הריבועי]]. לאחר חישוב מתקבל:
<center>
▲\;x^2+5x-14=\left(x+7\right)\cdot\left(x-2\right)
</center>
ביטוי זה אינו המשוואה שאנו
<center>
<math>x^2+5x-14=0</math>
</center>
או במילים אחרות
<center>
</center>
נמשיך בפתרון כפי שעשינו ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות|פרק הקודם]]. נחלק את המשוואה למקרים.
#<math>
#<math>
ואז הפתרון של המשוואה המקורית שלנו הוא:
<math>
==הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית==
נציג את הפתרון בדרך השניה, כלומר בעזרת הנוסחא. אם נתונה לנו משוואה מהצורה <math>
זוהי נוסחה פשוטה יחסית שנותנת את הפתרון. נוסחה זו כוללת רק פעולות בסיסיות: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש. יש נוסחאות דומות אך מסובכות הרבה יותר עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וקיימת הוכחה שאין נוסחה כללית שמבוססת רק על פעולות בסיסיות עבור משוואה ממעלה חמישית ומעלה.
נשתמש כעת בנוסחא זו על
<center>
<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot(-14)}}{2\cdot 1}</math>
</center>
כאן מפרידים לפלוס ולמינוס ומקבלים:
<center>
<math>x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot(-14)}}{2\cdot 1}=\frac{-5+\sqrt{25+4\cdot 14}}{2}=\frac{-5+\sqrt{81}}{2}=2</math>
<br>
<math>x_2=\frac{-5-\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot(-14)}}{2\cdot 1}=\frac{-5-\sqrt{25+4\cdot 14}}{2}=\frac{-5-\sqrt{81}}{2}=-7</math>
</center>
והגענו בדיוק לאותם פתרונות שהגענו בדרך של הטרינום. קל לראות שהדרך של הטרינום היא קצרה בהרבה מהדרך של הנוסחא אך זו נחמה פורתא משום שהדרך של הטרינום אינה עובדת בחלק נכבד מהמקרים ובמקרים אלו נאלץ להשתמש בשיטה של הנוסחא.
מומלץ מאוד ללמוד נוסחא זו בעל-פה שכן היא נוסחא בעלת חשיבות טכנית עליונה.
===הוכחת פתרון המשוואה הריבועית===
כדי להוכיח את נכונות פתרון המשוואה הריבועית נשתמש בטכניקת ה"[[השלמה לריבוע]]"
<center><math>ax^2+bx+c=0</math></center>
שורה 121 ⟵ 77:
<center><math>x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0</math></center>
:נחסר את הביטוי <math>\frac{c}{a}</math> משני האגפים:
<center><math>x^2
עכשיו נשתמש בהשלמה לריבוע ונהפוך את אגף שמאל לביטוי ריבועי:
:תחילה נפשט את הביטוי <math>\frac{b}{a}x</math> כך: <center><math>\frac{b}{a}x
:ונציב במשוואה הראשית:
<center><math>x^2
:וכדי להשלים את הריבוע סופית באגף שמאל נוסיף את הביטוי הריבועי <math>\left(\frac{b}{2a}\right)^2</math> לשני האגפים:
<center><math>x^2
עתה ניתן להפוך את אגף שמאל כולו לביטוי ריבועי פשוט (מוכר לכם?)
<center><math>\left(x
נפתח סוגריים באגף ימין:
<center><math>\left(x
ונכנס אברים באמצעות מכנה משותף:
<center><math>\left(x
כמעט סיימנו. נוציא שורש ריבועי משני האגפים:
<center><math>x
המכנה בשורש באגף ימין עובר פישוט ומצטמצם, ואילו המונה בשורש עומד בעינו, כך:
<center><math>x
עתה, כל שעלינו לעשות הוא להחסיר <math>\frac{b}{2a}</math> משני אגפי המשוואה כדי לבודד את <math>x_{1,2}</math> :
<center><math>x_{1,2}
נכנס אברים במכנה משותף <math>2a</math> , ונקבל ש-
<center><math>x_{1,2}
כנדרש.
===בחינת הפתרונות האפשריים===
נשים לב לביטוי :<math>
*אם <math>
*אם <math>
*אם <math>
בעזרת שיטת הטרינום, לא ניתן לדעת
=משוואה ריבועית עם פרמטרים=
{{להשלים}}
הפרמטרים הם האותיות במשוואה בנוסף לנעלמים x
אך ניתן להתייחס אל פרמטרים אלה כמו אל נעלמים (X ו-Y).
לרוב במשוואות פרמטריות משתמשים בפירוק לגורמים,כשאר מבודדים את הנעלם (x.y)
ואת מה שנשאר מהפירוק מעבירם לצד השני במשוואה.
דוגמה למשוואה פרמטרית:
שורה 175 ⟵ 131:
<math>x^2+mx=8</math>
<math>
<math>x=\frac{8}{x+m}</math>
=
השלבים לפתרון:
#מציאת ה[[מכנה המשותף]] - במידה ויש במכנה משתנה יש לבדוק האם אפשר לפרק את המכנים לפי פירוק לגורמים.
|