אנליזה נומרית/פתרון משוואות דיפרנציאליות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←שיטת Heun (שיטה מסדר 2): הרחבה |
מ הרחבה |
||
שורה 90:
* בעוד ששיטת אוילר מחשבת את הערך הבא באמצעות השיפוע בערך הנוכחי, שיטות רונגה-קוטה משתמשות במידע נוסף.
* בשיטות רונגה קוטה מסדר שני אנו מגיעים לדיוק מסדר <math>\ O(h^2)</math> באמצעות חישוב ערך הפונקציה f בשתי נקודות בלבד, לעומת שיטת טור-טיילור בה נדרשים שלושה חישובים: <math>\ f(x_i), \tfrac{\partial f(x_i)}{\partial x}, \tfrac{\partial f(y_i)}{\partial y}</math>
===שיטת רונגה-קוטה מסדר 4===
בשיטה זו לוקחים
:<math>
\begin{array}{rcl}
K_0 &=& f(x_i,y_i) \\
K_1 &=& f(x_i+\tfrac{h}{2}, y_i+\tfrac{h}{2}K_0) \\
K_2 &=& f(x_i+\tfrac{h}{2}, y_i+\tfrac{h}{2}K_1) \\
K_3 &=& f(x_i+h,y_i+hK_2) \\
y_{i+1} &=& y_i + \tfrac{h}{6} \left( K_0 + 2K_1 + 2K_2 + K_3 \right)
\end{array}
</math>
===שיטת Dormand-Prince===
בשיטה זו לוקחים
:<math>
\begin{array}{rcl}
K_0 &=& f(x_i,y_i) \\
K_1 &=& f(x_i+\tfrac{1}{5}h, y_i+\tfrac{1}{5}hK_0) \\
K_2 &=& f(x_i+\tfrac{3}{10}h, y_i+\tfrac{3}{40}hK_0 + \tfrac{9}{40}hK_1) \\
K_3 &=& f(x_i+\tfrac{4}{5}h, y_i+\tfrac{44}{45}hK_0 - \tfrac{56}{15}hK_1 + \tfrac{32}{9}hK_2) \\
K_4 &=& f(x_i+\tfrac{8}{9}h, y_i+\tfrac{19372}{6561}hK_0 - \tfrac{25360}{2187}hK_1 + \tfrac{64448}{6561}hK_2 - \tfrac{212}{729}hK_3) \\
K_5 &=& f(x_i+h, y_i+\tfrac{9017}{3168}hK_0 - \tfrac{355}{33}hK_1 + \tfrac{46732}{5247}hK_2 + \tfrac{49}{176}hK_3 - \tfrac{5103}{18656}hK_4) \\
K_6 &=& f(x_i+h, y_i+\tfrac{35}{384}hK_0 + \tfrac{500}{1113}hK_2 + \tfrac{125}{192}hK_3 - \tfrac{2187}{6784}hK_4 + \tfrac{11}{84}hK_5) \\
& & \\
y_{i+1} &=& y_i + h \left( \tfrac{5179}{57600} K_0 + \tfrac{7571}{16695} K_2 + \tfrac{393}{640} K_3 - \tfrac{92097}{339200} K_4 + \tfrac{187}{2100} K_5 + \tfrac{1}{40} K_6 \right) + O(h^5) \\
y_{i+1} &=& y_i + h \left( \tfrac{35}{384} K_0 + \tfrac{500}{1113} K_2 + \tfrac{125}{192} K_3 - \tfrac{2187}{6784} K_4 + \tfrac{11}{84} K_5 \right) + O(h^6)
\end{array}
</math>
===קישורים חיצוניים===
| |||