ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
לתוך תבנית-דוגמה
שורה 2:
 
==הוצאת שורשים==
בכדי להוציא שורש למספר מדומה עלינו לעלות בשנייה את התרגיל במקום להוציא שורש. {{דוגמה|
בהמשך נלמד כיצד ניתן להוציא שורש מכל סדר שהוא, אולם כעת נלמד טכניקה להוצאת שורשים ריבועיים שלעתים קרובות יכולה להיות נוחה יותר לשימוש מאשר הטכניקה הכללית.
מספר=1|
שם=הוצאת שורש|
תוכן= פתור את התרגיל <math>Z^2=9-40i</math>
 
ראשית אנו יודעים כי <math>z=a+bi</math> ולכן נציבו במשוואה:
נניח כי אנו רוצים למצוא את שני השורשים של המספר המרוכב <math>z=a+bi</math> . אנחנו מנחשים שהשורשים גם הם מספרים מרוכבים. בעקרון יש להוכיח כי ניחוש כזה הוא לגיטימי, אולם נדחה את ההוכחה למקרה הכללי. נניח אם כן כי <math>x+yi</math> הוא מספר מרוכב שמהווה את אחד מהשורשים וננסה לראות מהם ערכי <math>x,y</math> .
 
<math>(xa+yibi)^2=a+bi9-40i</math>▼
כיון ש- <math>x+yi=\sqrt{a+bi}</math> צריך להתקיים השוויון הבא:
 
▲<math>(x+yi)^2=a+bi</math>
 
נפתח את הסוגריים באגף שמאל ונקבל:
 
<math>xa^2+2abi-yb^2+2xyi=a+bi9-40i</math>
 
יש לנו שני משתנים <math>x,y</math> ולכאורה רק משוואה אחת, אולם בפועל בתוך המשוואה חבויות שתי משוואות. כיון ש- <math>x,y,a,b</math> כולם מספרים ממשיים ניתן להשוות בנפרד את החלק הממשי והחלק המדומה של המספרים שמשני צדי השוויון. נקבל את שתי המשוואות הבאות:
 
#<math>x^2-y^2=a</math>
#<math>2xy=b</math>
 
לאחר פתרון מערכת המשוואות הזו נקבל את השורשים המבוקשים.
 
===דוגמא===
נניח שאנו מחפשים את <math>\sqrt{5+12i}</math> . על-פי השיטה שהראינו, נקבל את מערכת המשוואות הבאה:
 
#<math>x^2-y^2=5</math>
#<math>2xy=12</math>
 
מהמשוואה השניה נחלץ את <math>x</math> :
 
יש לנו שני משתנים <math>a, b</math>. כפי שהדגמנו בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/משוואות עם מספרים מרוכבים|משוואות עם מספרים מרוכבים]], עלינו להשוואות בין המספרים המדומים ובין המספרים הממשים. כלומר יש לנו שתי משוואות:
<math>x=\frac6{y}</math>
 
<math>
נציב במשוואה הראשונה ונקבל:▼
\begin{cases}
a^2-b^2=9\\
2abi =-40i\\
\end{cases}
</math>
 
נחלץ את אחד מהנעלמים:
<math>\frac{36}{y^2}-y^2=5</math>▼
<math>
\begin{align}
2abi =-40i\\
2ab =-40/:2b\\
a=\frac{-20}{b}\\
\end{align}
</math>
 
▲נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
נקבל את המשוואה הבאה:
<math>
\begin{align}
a^2-b^2=10\\
\frac{-20}{b}^2-b^2=10\\
▲<math>\frac{36400}{yb^2}-yb^24=5</math>10\\
400-b^4=10b^2\\
b^4+10b^2-400=0\\
(b^2−25) * (b^2+16)=0\\
b=\pm 4\\
\end{align}
</math>
 
נמצא את <math>a</math> באמצעות הצבת <math>b= 4 \ \ \ \ \ b=-4</math>
<math>y^4+5y^2-36=0</math>
 
נגדיר <math>t=y^2</math> וקיבלנו משוואה ריבועיות רגילה:
 
<math>t^2+5t-36=0</math>
\begin{align}
a=\frac{-20}{4}\\
a=-5\\
a=\frac{-20}{-4}\\
a=5\\
\end{align}
</math>
 
פתרון : <math>Z=5-4i</math> או <math>Z=-5+4i</math>
פתרונות המשוואה הם <math>t_{1,2}=4,-9</math> . כיון ש- <math>y</math> הוא מספר ממשי הפתרון <math>y^2=-9</math> אינו קביל, ולכן <math>y_{1,2}=\pm 2</math> הם הפתרונות היחידים, ולהם מתאימים הפתרונות <math>x_{1,2}=\pm 3</math> .
 
}}
קיבלנו כי <math>\sqrt{5+12i}=\pm(3+2i)</math> .
 
==פתרון משוואות ריבועיות==
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/מספרים_מרוכבים/הוצאת_שורשים_ומשוואות_ריבועיות"