|
===שלבים===
השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון רק שהם כולם חלים על נגזרת שנייה במקום ראשונה :
# נבצע גזירה שנייהראשונה (נקודת קיצון).
# נבצע גזירה שנייה (סוג נקודת קיצון על פי המשפט ''אם הנגזרת מסדר אי זוגי התאפסה סימן שמדובר בנקודת קיצון'' וכן בדיקה למציאת נקודות פיתול).
# נשווה נגזרת שנייה לאפס.
# נפתור את המשוואה.
# נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה -
#*הצבה בנגזרת שנייהראשונה בדומה ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת קיצון]] (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה תעלה ותעלה או תרד ותרד. דרך זו עדיפה.
תוכן=#*הצבה בנגזרת שניה - אם נגזרת התאפסה והיא מסדר '''אי זוגי ''' (כלומר זו הנגזרת השלישיתהשניה, חמישיתהרביעית, השישית) ואחריה הנגזרת מסדר וכו' ''אי שלנו)זוגי''' אזלא התאפסה הנקודה היא '''נקודת פיתול'''. ▼#*הצבה בנגזרת שלישית - יהיה עליה ירידה / עליה ירידה כאילו הנגזרת הראשונה היא הפונקציה.
# נמצא את שיעורי ה-y של הנקודה.
דוגמה ב[[מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ב'-1 שאלון 035806/עמוד 666 סעיף 9|כאן]]
===הערה לגבי שלב 4ב===
נבצע גזירה לפונקציה : <math>f(x)=x^3-6x^2+2</math>
בניגוד לנקודות קיצון, רצוי מאוד למצוא את סוג נקודת פיתול באמצעות טבלה כיוון שנקודת הפיתול מאפסת את הנגזרת השנייה, ולכן חייבים להעזר בטבלה כדי לדעת את סוגה (ניתן גם להעזר בנגזרת רביעית, אך העניין מתחיל להסתבך).
{{משפט|
מספר=|
שם=משפט|
▲תוכן= אם נגזרת התאפסה והיא מסדר '''אי זוגי''' (כלומר זו הנגזרת השלישית, חמישית וכו' שלנו) אז הנקודה היא '''נקודת פיתול'''.
נגזרת ראשונה:<math>f'(x)=3x^2-12x</math>
אם נגזרת התאפסה והיא '''מסדר זוגי''' (כלומר זו הנגזרת השניה, הרביעית, השישית) אז זוהי '''נקודת קיצון''' כדי לקבוע את סוגה יש או לגזור שוב את הנגזרת או להעזר בטבלה ולכן עדיף מראש להיעזר רק בטבלאות.
נגזרת שניה:<math>f''(x)=6x-12</math>
נתונה הפונקציה <math>\ f(x)=x^3</math>. נגזרותיה הן:
נשווה נגזרת שנייה לאפס: <math>6x-12=0</math>
:<math>\ f'(x)=3x^2, f''(x)=6x, f'''(x)=6</math>.
נפתור את המשוואה: <math>x=2</math>
מתקיים <math>\ f''(0)=0</math> , ומאחר שהפונקציה גזירה פעמיים בישר הממשי כולו, נקודת הקיצון האפשרית היחידה של הפונקציה היא בנקודה זו.
כמו כן מתקיים <math>\ f'''(0)=6</math>,והנגזרת השלישית היא הנגזרת הראשונה שערכה בנקודה שונה מאפס. כיוון שנגזרת מסדר אי זוגי, הנקודה היא אכן נקודת פיתול.
נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה:
לעומת זאת, נביט כעת בפונקציה <math>\ f(x)=x^4</math> שנגזרותיה הן:
{| class="wikitable"
:<math>\ f'(x)=4x^3,f''(x)=12x^2,f'''(x)=24x,f''''(x)=24</math>.
|-
! 3 !!2 !! 1 !! x
|-
| <math>3*3^2+2=29 \rightarrow +</math> || נקודה חשודה כפיתול || <math>3*1^2+2=5 \rightarrow +</math> ||y'
|-
| עולה || פיתול || עולה || y
במקרהלחילופין זה,נגזור הנגזרתפעם הראשונה שערכה בנקודהשלישית: <math>\ f'''(x)=06 \rightarrow +</math>. שונהמאחר מאפסוהנגזרת היא הרביעית,מסדר אי זוגי (כי זו הנגזרת השלישית שלנו) והיא לא ולכןהתאפסה, הנקודה 0שלנו אינההיא נקודת פיתול.
==תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה==
| 