מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הגדרת המספר e: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
כרגע |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
בפרק ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית|קודם]] הראנו כיצד פונקציות מערכיות מהצורה <math>y=a^x</math> נחתכות עם ציר ה-<math>y</math> בנקודה <math>(0,1)</math> מפני שכאשר <math>a^0=1</math>.
<gallery>
קובץ:2^x function graph.PNG|כאשר מעבירים משיק לפונקציה <math>y=2^x</math> בנקודת החיתוך עם ציר ה-<math>y</math> (<math>0, 1</math>) הזווית המתקבלת בין [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/הזוית בין שני ישרים|שני ישרים נחתכים]], כלומר בין ציר ה-<math>x</math> (ששיפועו שווה אפס) לשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה <math>(0, 1)</math> <math>y(0)'=2^x*ln2=2^0*ln2=ln2</math> היא לאחר הוצאת טנגנס <math>tan\alpha=\frac{|ln2-0|}{1+ln2*0}=ln2</math> שווה <math>34.727^\circ = ~35^\circ</math>
קובץ:PictureFileName.jpg|כאשר מעבירים משיק לפונקציה <math>y=3^x</math> בנקודת החיתוך עם ציר ה-<math>y</math> (<math>0, 1</math>) הזווית המתקבלת בין [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/הזוית בין שני ישרים|שני ישרים נחתכים]], כלומר בין ציר ה-<math>x</math> (ששיפועו שווה אפס) לשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה <math>(0, 1)</math> <math>y(0)'=3^x*ln3=3^0*ln3=ln3</math>, לאחר הוצאת טנגנס <math>tan\alpha=\frac{|ln3-0|}{1+ln3*0}=ln3</math>, שווה <math>47.69^\circ = ~ 48^\circ</math>
</gallery>
במילים אחרות, בין הפונקציה <math>2^x</math> ל-<math>3^x</math> קיימת פונקציה המייצרת עם ציר ה-<math>x</math> זווית של <math>45^\circ</math>. ערך הבסיס לפונקציה כזו הינו <math>2.718</math> אותו סימנו בנעלם <math>e</math>.
===חישוב המספר===
הפעם נציג כיצד בפועל גילו את ערך הנקודה. הרי הנתונים שהיו להם הם משיק העובר דרך גרף הפונקציה <math>a^x</math> בנקודה <math>(0, 1)</math> וזווית בגודל <math>45^\circ</math>.
נעזר ב[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נגזרת - תורת הגבולות|הגדרת הנגזרת]] ונמצא את הנגזרת בין הנקודה <math>(0, 1)</math> לנקודה שה-<math>x</math> הוא הקרוב ביותר לנקודת החיתוך עם ההציר. נקרא לנקודה <math>B (x, e^x)</math>.
השיפוע בין שתי הנקודות הוא <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{e^x-1}{x-0}</math>
נקבל <math>lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}</math>
אנו ידועים כי הנגזרת כולה שווה לאחד (כך הגדרנו את <math>e</math>) אזהי <math>\frac{e^x-1}{x}=1</math>
נפטר מהמונה, <math>e^x-1=x</math>
נעביר אגפים, <math>e^x=1+x</math>
נוציא שורש נקבל <math>e=(1+x)^{\frac{1}{x}}</math>
מאחר שה-<math>x</math> של <math>B (x, e^x)</math> שואף להיות קרוב ביותר לנקודת ההשקה, כלומר שואף להיות אפס נקבל
<math>e=lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}</math>
נהוג לסמן את ערך ה-<math>\frac{1}{x}</math> ב-<math>n</math> ולכן <math>e=lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n</math>
כך ש-<math>n</math> קובע את דרגת הדיור של המרחק בין נקודת החיתוך לנקודה הקרובה אליה. אם נציב <math>n=1,000</math> נקבל
<math>e=(1+\frac{1}{1,000})^{1,000}=2.7169</math>
[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]
| |||