מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
 
אין תקציר עריכה
נמצא את הנגזרת לפונקציה <math>y=e^x</math> בנקודה <math>x_1</math>
אם <math>a=2.718</math>, אז הפונקציה היא <math>y=2.718^x</math> והנגזרת היא <math>y'=2.718^x*1</math> , כלומר, נגזרת הפונקציה זהה לפונקציה.
<math>(e^x)'=e^x</math>
 
<math>m=\frac{y_1-y_2}{x_2-_2}=\frac{e^x-e^{x_1}}{x-x_1}</math>
נשים לב כי עבור הפונקציה המיוחדת <math>f(x)=e^x</math> מתקיים <math>f'(x)=\ln(e)\cdot e^x=1\cdot e^x=e^x=f(x)</math>, כלומר שיפוע הפונקציה בכל נקודה שווה ממש לערך הפונקציה בה (קבוע הפרופורציה הוא 1).
 
מאחר ש-<math>x</math> שואף ל-<math>x_1</math> נסמן <math>x-x_1=h</math> כמרחק הקטן ביותר ונציב במקום <math>e^x</math> את <math>e^{x_1+h}</math>, נקבל <math>\frac{e^{x_1+h}-e^{x_1}}{h}=</math>.
 
נוציא מכנה משותף ונקבל, <math>e^{x_1}*\frac{(e^h-1)}{h}</math>.
 
הערך <math>e^{x_1}</math> הוא קבוע ולכן נתמקד ב- <math>\frac{e^h-1}{h}</math>
 
מאחר שהמרחק (<math>h</math>) שואף להיות מינמלי, <math>lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}</math>
 
נציב במקום אחד <math>e^0</math> ונקבל <math>\frac{e^h-e^0}{h}</math>
 
אם נחזור ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הגדרת המספר e#חישוב המספר|הגדרת המספר <math>e</math>]], נראה כי מדובר על אותו ביטוי בדיוק בנקודה <math>x=0</math>. במילים אחרות, הנגזרת של הפונקציה זהה לפונקציה <math>(e^x)'=e^x</math>.
 
[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]