מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית e^x וכללי הגזירה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ Illuyanka העביר את הדף מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית עם כללי הגזירה לשם [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציא... |
|||
שורה 61:
</div>
==
===מקרה 1===
<math>\;x\to -\infty</math>, כלומר, <math>\ e^x=0</math> (הערך הכי נמוך במשוואה מעריכית הוא הערך הקרוב ביותר לאפס).
נציב <math>\;e^x=0</math> במשוואה, נפתח אותה ונקבל תשובה.
===מקרה 2===
יש להציב <math>\;x\to \infty</math>, אולם, ניתן לחלק את כל האפשרויות לשלוש:
# '''y=0 (מתלכדת עם ציר ה-x בגרף)-''' כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
# '''אין אסימפטוטה המקבילה לציר x-'''כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
#''' אסיפטוטה y היא ערך מקדמי ה-x הגבוה -''' אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
=== קצב גידול ומהירות שאיפה ===
הפונקציה המעריכית גדלה מהר מאוד, הרבה יותר מהר מפונקציות כמו <math>\ x^2</math> או אחיותה <math>\ x^3, x^4, x^5</math> וכו'. לכן, נשים לב שפונקציה כמו <math>\ \frac{x^{10}}{e^x}</math> שואפת לאפס כש-<math>\ x</math> שואף לאינסוף. הסיבה לכך היא שהמכנה, כפי שאמרנו, גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן תוצאת המנה הולכת וקטנה ככל ש-<math>\ x</math> גדל.
===דוגמא ===
מי שואף מהר יותר <math>e^x</math> או <math>x^2+1</math>?
e^x נחשב ל"שואף מהר יותר" מ-<math>x^2+1</math> כיוון ש-e הוא בערך שווה לשלוש, כאשר מעלים אותו במיליון הוא : <math>3^{1,000,000}</math> (שלוש*מיליון פעמים שלוש = אינסוף פעמים שלוש)
לעומת זאת, <math>1,000,000^{2}+1</math> , שואף לאט יותר, כיוון שהוא רק מיליון*מיליון = מיליון בריבוע.
ובקיצור : <math>e^x</math> שואף מהר יותר ממיליון בחזקה נעלם ששונה ממיליון.
[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]
| |||