מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית e^x וכללי הגזירה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
העברה ל-A^X |
כרגע |
||
שורה 50:
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]
|colspan="2"|
# מציאת נגזרת על פי הכלל <math>\ (e^{f(x)})'=e^{f(x)}*f'(x)</math>. לדוגמא, הנגזרת של הפונקציה <math>y=e^{x^2-4x}+5x</math> היא: <math>y'=e^{x^2-4x}\cdot(2x-4)+5</math> <small>(כאשר יש לנו מנה של פונקציות, לדוגמה <math>y=\frac{2x}{e^x}</math> ניתל להעזר במקום בכלל [[מנת פונקציות]], בהמרה <math>y=2x*e^{-x}</math> ולהעזר בכלל [[מכפלת פונקציות]]).</small>▼
# מציאת ערכי ה-<math>x</math> של הנקודה על ידי השוואת הנגזרת לאפס.
# מציאת ערכי ה-<math>y</math> של הנקודה על ידי הצבת ערך ה-<math>x</math> המתקבל במשוואת הפונקציה.
▲לדוגמא, הנגזרת של הפונקציה <math>y=e^{x^2-4x}+5x</math> היא: <math>y'=e^{x^2-4x}\cdot(2x-4)+5</math> <small>(כאשר יש לנו מנה של פונקציות, לדוגמה <math>y=\frac{2x}{e^x}</math> ניתל להעזר במקום בכלל [[מנת פונקציות]], בהמרה <math>y=2x*e^{-x}</math> ולהעזר בכלל [[מכפלת פונקציות]]).</small>
# בעת קביעת סוג נקודת הקיצון עדיף להיעזר בנגזרת שנייה על פני טבלה. נזכור <math>a^x</math> תמיד חיובי ולכן אין צורך לגזור אותו בנגזרת שנייה. כמו גם אם מדובר בפונקצית שורש, המונה תמיד חיובי ולכן ניתן להתעלם ממנו. ראו דוגמה [[מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 804 תרגיל 45#סעיף 1|כאן]].
|-
!rowspan="2"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="1"| מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה
|בפונקציות מערכיות עדיף להיעזר בנגזרת שנייה ושלישית.
|-
|מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה
|
# נגזור את הפונקציה נגזרת ראשונה.
# נגזור את הפונקציה נגזרת שנייה. נזכר שוב כי המונה בפונקצית שורש תמיד חיובי בנגזרת שנייה וכל שהביטוי <math>a^x</math> תמיד חיובי לכן ניתן להתייחס אליהם כאילו לא היו קיימים מנגזרת שנייה והלאה.
# מציאת ערכי ה-<math>x</math> של נקודת הפיתול - נשווה את הנגזרת השנייה לאפס.
# נאשרר כי מדובר בנקודת פיתול על ידי גזירת הפונקציה נגזרת שלישית ונוכיח כי הנגזרת המתקבלת שונה מאפס (כלומר אינה מאפסת את הנגזרת)
# מציאת ערכי ה-<math>y</math> של הנקודה על ידי הצבת ערך ה-<math>x</math> המתקבל במשוואת הפונקציה.
# קביעת סוג הנקודה יתבצע באמצעות פתרון של [[אי שיוויון מערכי]] (או טבלה) - נבדוק מתי נגזרת שנייה של הפונקציה גדולה מאפס.
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
| |||