מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית e^x וכללי הגזירה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
כרגע |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
{| class="wikitable"
!פונקצית
|-
|
שורה 8:
! תבנית
|colspan="4"|
<math>y=e^{f(x)}</math>
|-
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="4"|
# פונקציה אקספוננט מורכבת מוגדרת לכל <math>x</math> עם זאת מאחר והיא מורכבת יש לבחון את תחומי ההגדרה לסוגים השונים של הפונקציות בהתאם. אם הפונקציה מעריכית מורכבת עם [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית|פונקציה רציונלית]] נבדוק מתי המכנה גדול מאפס. אם היא חלק מפונקצית [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש|שורש]], נבדוק מתי הבסיס שבשורש גדול מאפס וכן הלאה.
השוואת מכנה לאפס. יש לקחת בחשבון ש[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות|משוואה מעריכית]] יכולה להופיע בפונקציות שונות ולכן, בהתאם אליהם תחום ההגדרה:▼
מספר=1|
שם=תחום הגדרה למכנה <math>e^{2x}-5e^x+4</math>|
תוכן=נשווה את המכנה לאפס ונקבל <math>e^{2x}-5e^x+4 \ne 0</math>
▲כאשר במכנה יש [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות|משוואה מעריכית]], למשל, <math>e^x+a</math>, התוצאה היא, <math>x \ne \ln(a)</math>. למשל נניח שבמכנה רשום <math>e^{2x}-5e^x+4</math> נשווה את המכנה לאפס ונקבל <math>e^{2x}-5e^x+4 \ne 0</math>
<math>
\begin{align}
\end{align}
</math>
נציב את <math>e^x=t</math> בחזרה ונקבל,
<math>
שורה 39 ⟵ 38:
\end{align}
</math>
}}
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך עם הצירים|חיתוך עם הצירים]]
|-
|
# נציב <math>y=0</math>
# נפתור משוואה מעריכית.
# נזכור כי ניתן לחלק ב-<math>e^x</math> מפני ש-<math>e^x>0</math>
# נזכור כי <math>e^0=1</math>
לדוגמה [[מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 801 סעיף 9|לחץ כאן]]
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="2"|
# נציב <math>x=0</math>
# נפתור משוואה עם <math>e</math>.
# נזכור כי <math>e^0=1</math>
לדוגמה [[מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 801 סעיף 9|לחץ כאן]]
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]
שורה 57 ⟵ 67:
!rowspan="2"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="1"| מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה
|-
|מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה
שורה 72 ⟵ 82:
!rowspan="1"|אסימפטוטה אנכית לציר <math>x</math>
|
▲
# אם יש לנו ערך המאפס את המכנה נבנה טבלה (או לחילופין נוודא כי התוצאה אינה מאפסת את המונה) ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה. לדוגמה [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ח/035007/תרגיל 5|לחץ כאן]]
# בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה.
# יש להציב שישה ערכי <math>x</math> קרובים לתוצאה אותה קיבלנו לפני ואחרי הנקודה.
# לחשב את ערך ה-<math>y</math> של ה-<math>x</math> באמצעות הצבה בטבלה.
# לבחון את התנהגות הפונקציה:
#* אם ערך ה-<math>y</math> גדל ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר באסימפטוטה.
#* אם ערך ה-<math>y</math> קטן (כלומר מתכנס לנקודה) ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר בחור.
|-
!rowspan="1"|אסימפטוטה אופקית▼
|colspan="1"| ▼
פתרון אפשרי באמצעות הדרך הארוכה בלבדה כאשר נבדוק בנפרד <math>lim_{x \rightarrow \infty}</math> וכן <math>lim_{x \rightarrow -\infty}</math>
# עבור <math>lim_{x \rightarrow \infty}</math>
#* נחלק את הפונקציה בנעלם עם החזקה הגדולה.
#* נציב <math>lim_{x \rightarrow \infty}</math>
#נבדוק עבור התחום <math>lim_{x \rightarrow -\infty}</math> נשם לב כי <math>e^{-\infty}=\frac{1}{e^\infty}=0</math> ולכן פעמים רבות נוכל להציב ב-<math>x</math> את מינוס אינסוף, ללא צורך לחלק בחזקה הגדולה ביותר. (ראה לדוגמה, [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ח/035007/תרגיל 5|פה]]. בנוסף, נשם לב לקצב גידול ומהירות שאיפה: הפונקציה המעריכית גדלה מהר מאוד, הרבה יותר מהר מפונקציות <math>\ x^2, x^3, x^4</math> וכו'. לכן פונקציה כמו <math>\ \frac{x^{10}}{e^x}</math> (קטן חלק גדול) שואפת לאפס כשאשא <math>\ x</math> שואף לאינסוף.
#* במידה וצריך נחלק בחזקה הגדול ביותר ונחלק.
# נבדוק כי האסימפטוטות אינן נחתכות עם הפונקציה על ידי הצבה ערכיהן בפונקציה.
{{דוגמה|
מספר=2|
שם=מהירות שאיפה|
תוכן=
מי שואף מהר יותר <math>e^x</math> או <math>x^2+1</math>?
<math>e^x</math> נחשב ל"שואף מהר יותר" מ-<math>x^2+1</math> כיוון ש-<math>e</math>
לעומת זאת, <math>1,000,000^{2}+1</math> , שואף לאט יותר, כיוון שהוא רק מיליון*מיליון = מיליון בריבוע.
ובקיצור : <math>e^x</math> שואף מהר יותר ממיליון בחזקה נעלם ששונה ממיליון.
}}
▲|-
▲!rowspan="1"|אסימפטוטה אופקית
▲|colspan="1"|
▲נמצא את <math>x</math>
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|פונקציה עולה או יורדת]]
|colspan="2"|
# נמצא את תחום ההגדרה.
# במידה ומצאנו את נקודות הקיצון של הפונקציה ובדקנו את סוגן, נוכל להעזר בגרף על מנת לדעת את תחומי העלייה וירידה.
# במידה ולא מצאנו את נקודות הקיצון של הפונקציה נפתור את המשוואה <math>y'(x)>0</math> בכדי למצוא תחומי עלייה, ו-<math>y'(x)<0</math>. ראה דוגמה [[מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 795 סעיף 11|כאן]]
|-
| |||