|
המספר <math>M</math> יקרא ''החסם העליון הקטן ביותר'' (לפעמים פשוט ''"החסם העליון"'') או ''סופרמום'' של <math>A</math> , אם מתקיים:{{ש}}
1) <math>M</math> חסם מלעיל של <math>A</math> .{{ש}}
2) אין חסם מלעיל אחר של <math>A</math> שקטן ממש מ- <math>M</math> . (במילים אחרות, אם <math>M_1</math> חסם מלעיל של <math>A</math> אף הוא, אז מתקיים: <math>M_1\ge M</math>).{{ש}}
(במילים אחרות, אם <math>M_1</math> חסם מלעיל של <math>A</math> אף הוא, אז מתקיים: <math>M_1\ge M</math>).{{ש}}
ניסוח אחר: <math>\forall M_2<M,\ \exists x\in A|x>M_2 </math> .{{ש}}
<u>סימון</u>: <math>M=\sup\{A\}</math> .{{ש}}
<u>הגדרה</u>:
#נתונה קבוצה <math>\ A </math> החסומה מלעיל ע"י <math>\ M </math> , כלומר <math>\ M= \sup \left\{ A \right\} </math> . אם <math>\ M\in A </math> , אז נגיד ש- ''<math>\ M </math> הוא המקסימום של <math>\ A </math>'' , ונכתוב: <math>\ M= \max \left\{ A \right\} </math> .</br>
#נתונה קבוצה <math>\ B </math> החסומה מלרע ע"י <math>\ m </math> , כלומר <math>\ m=\inf \left\{ B \right\} </math> . אם <math>\ m\in B </math> , נגיד ש- ''<math>\ m </math> הוא המינימום של <math>\ B </math>'' , ונכתוב: <math>\ m=\min \left\{ B \right\} </math> .
* הערה: אם יש ל- <math>\ A </math> מספר סופי של איבריםאברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום.
==דוגמא חשובה==
<math> \ ? </math> <u>שאלה</u>: האם לכל קבוצה <math> \ A </math> החסומה מלעיל יש סופרמום? </br>{{ש}}▼
<u>תשובה</u>: תלוי ( ותיכףותכף נראה במה) </br>{{ש}}▼▲<math>\ ? </math> <u>שאלה</u>: האם לכל קבוצה <math>\ A </math> החסומה מלעיל יש סופרמום?</br>
*אם אנחנו נמצאים בתוך <math>\ \mathbb{R} Q</math> , התשובה היא כן, תמיד!</br>לא.▼▲<u>תשובה</u>: תלוי (ותיכף נראה במה)</br>
*אם אנחנו נמצאים בתוך <math>\ \mathbb{Q} R</math> , התשובה היא לא.</br>כן, תמיד!
<u> דוגמהדוגמא חשובה מאוד</u>: נתבונן בקבוצה הבאה: <math> \ A= \left\{ x\in\ mathbb{Q } |x^2<2 \right\} </math> </br>{{ש}}▼▲*אם אנחנו נמצאים בתוך <math>\ \mathbb{R} </math>, התשובה היא כן, תמיד!</br>
כעת, נשאל לגבי הקבוצה הזו: האם קיים לה סופרמום בתוך <math>\Q</math> ?{{ש}}
▲<u>דוגמה חשובה מאוד</u>: נתבונן בקבוצה הבאה: <math>\ A= \left\{ x\in\mathbb{Q} |x^2<2 \right\} </math> </br>
כעת, נשאל לגבי הקבוצה הזו<u>טענה</u>: האםלקבוצה קיים<math>A</math> לההנ"ל אין סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math>?</br>{{ש}} .
<u>טענההוכחה</u>: לקבוצהנניח בשלילה שקיים כזה, ונסמנו באות <math>\ A M</math>. הנ"ל אין סופרמום בתוךכלומר: <math>M=\ sup\mathbb{QA\} </math></br> .{{ש}}
בהכרח <math> \ M\ne\ sqrt{2} sqrt2</math> (משום ש- <math> \ M\in\ mathbb{Q } </math> , וראינו מקודם ש- <math>\ \sqrt{2}sqrt2\not\in\ mathbb{Q } </math>). לכן, קיימות שתי אפשרויות: </br>{{ש}}▼<u>הוכחה</u>: נניח בשלילה שקיים כזה, ונסמנו באות <math>\ M </math>. כלומר: <math>\ M=\sup \left\{ A \right\} </math>.</br>
א) <math> \ M>\ sqrt{2} sqrt2</math> : לפי המשפט שהוכחנו, בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי. לכן, בין <math> \ M </math> ובין <math>\ \sqrt{2} sqrt2</math> יש מספר רציונלי כלשהו, נסמנו <math> \ M_1 </math> . </br>{{ש}}▼▲בהכרח <math>\ M\ne\sqrt{2} </math> (משום ש- <math>\ M\in\mathbb{Q} </math>, וראינו מקודם ש- <math>\ \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q} </math>). לכן, קיימות שתי אפשרויות:</br>
▲א) <math>\ M>\sqrt{2} </math>: לפי המשפט שהוכחנו, בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי. לכן, בין <math>\ M </math> ובין <math>\ \sqrt{2} </math> יש מספר רציונלי כלשהו, נסמנו <math>\ M_1 </math>.</br>
[[תמונה:P5fst.jpg|תמונה להמחשה: גבולות הקבוצה A וחסמיה]]
כעת: לכל <math>x\in A</math> , מתקיים ש- <math>M_1\Leftarrow M_1>x</math> חסם מלעיל <math>M\Leftarrow</math> אינו סופרמום! (כי יש חסם מלעיל הקטן ממנו) <math>\Leftarrow</math> סתירה להנחה ש- <math>M>\sqrt{2} </math> <math>M\le\sqrt2\Leftarrow</math> . אבל, כבר אמרנו שבהכרח <math>M<\sqrt2\Leftarrow M\ne\sqrt2</math> .{{ש}}
כעת: לכל <math>\ x\in A </math>, מתקיים ש- <math>\ M_1>x </math>
ב) <math>M<\sqrt2</math> M_1: \Leftarrowלפי אותו משפט כנ"ל, יש בין <math>M</math> חסם מלעיללבין <math>\sqrt2</math> Mמספר \Leftarrowרציונלי <math>M_2</math> אינו, סופרמום! (כי יש חסם מלעיל הקטן ממנו)ומתקיים: <math>M<M_2<\ \Leftarrow sqrt2</math> סתירה. להנחה ש-לכן, <math>M_2\in M>\sqrt{2} A</math> (כי: <math>(M_2)^2<2\Leftarrow M<\lesqrt2</math>) \sqrt{2{כ} }<math>M\Leftarrow</math>.אינו אבל,חסם כברעליון אמרנוכלל! שבהכרח(כי <math>\יש M\ne\sqrt{2}אבר </math>בקבוצה שגדול ממנו).
</br><u>מסקנה</u>: אין לקבוצה <math> \ A </math> הנ"ל סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q } </math> , והטענה הוכחה . ▪ ▼<math>\ M<\sqrt{2} \Leftarrow </math>.</br>
ב) <math>\ M<\sqrt{2} </math>: לפי אותו משפט כנ"ל, יש בין <math>\ M </math> לבין <math>\ \sqrt{2} </math> מספר רציונלי <math>\ M_2 </math>, ומתקיים: <math>\ M<M_2<\sqrt{2} </math>. לכן, <math>\ M_2\in A </math> (כי: <math>\ M<\sqrt{2} </math>
<math>\ \left( M_2 \right) ^2 <2 \ \ \Leftarrow </math>) <math>\ M \ \Leftarrow</math> אינו חסם עליון כלל! (כי יש איבר בקבוצה שגדול ממנו).
▲</br><u>מסקנה</u>: אין לקבוצה <math>\ A </math> הנ"ל סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math>, והטענה הוכחה.▪
==אקסיומת השלמות==
<u>אקסיומת השלמות</u>: לכל קבוצה (לא -ריקה) חסומה מלעיל ב- <math>\ \mathbb{R} </math> קיים סופרמום.</br>{{ש}}
( <math>\ \Leftrightarrow iff</math> לכל קבוצה חסומה מלרע ב- <math>\ \mathbb{R} </math> קיים אינפימום).</br>{{ש}}
*<u>הערה</u>: בהקשר הנוכחי של הדיון, ''אקסיומה'' היא תכונה בסיסית שאנו מצפים מקבוצת המספרים הממשיים לקיים. עם זאת, איננו מניחים כהנחת יסוד שהתכונה מתקיימת והיא ניתנת להוכחה בהתבסס על הצורה שבה הוגדרו המספרים הממשיים. יש שתי דרכים לבנית המספרים הממשיים תוך שימוש במספרים הרציונליים ושתיהן מניבות את אותה קבוצה. הדרך האחת משתמשת באובייקטים הנקראים '''חתכי דדקינד''' והשנייהוהשניה מתבססת על מושג שנקרא '''סדרת קושי'''. בהמשך הקורס נלמד על סדרות קושי, אך לא ניכנס לשימוש בהן לבניית הממשיים, שדורש בסיס רחב מעט יותר בתורת הקבוצות.
<u>משפט</u> (דוגמהדוגמא לשימוש באקסיומת השלמות):
לכל מספר חיובי <math>\ a </math> ולכל <math>\ n\in\mathbb{N} </math> '''''קיים''''' מספר חיובי '''''אחד ויחיד''''' <math>\ x </math> , כך שמתקיים:
<math>\ x^n=a \Leftrightarrowiff x=a^{\frac{1}{n}} \Leftrightarrowiff x=\sqrt[n]{a} </math>
שימו לב, שמשפט זה מורכב משתי טענות: טענת '''''הקיום''''', וטענת ''''' היחידות'''''. מעתה ואילך, נרשום טענות מעין אלה באופן הבא: לכל מספר חיובי <math>\ a </math> ולכל <math>\ n\in\mathbb{N} </math> '''''קיים ויחיד''''' <math>\ x </math> , כך שמתקיים...</br>{{ש}}
<u>הוכחה</u>:</br>{{ש}}
מאחר ואנו טוענים שתי טענות, נוכיח את שתיהן. לרוב, הוכחת היחידות קלה למדי, והוכחת הקיום היא זו הדורשת עבודה רבה יותר.</br>{{ש}}
<u>הוכחת הקיום</u>:</br>{{ש}}
נתון <math> \ a>0 </math> , ונתון <math> \ n\in\ mathbb{N } </math> . נגדיר את הקבוצה הבאה: <math> \ A= \left\{ x\in\ mathbb{R } ^+\cup \left\{ 0 \right\} |x^n<a \right\} </math> . (מטרתנו היא להראות שהמספר <math> \ x= \sqrt[n]{a} </math> הוא הסופרמום של קבוצה זו, בפרט מכאן ינבע שהוא קיים.) </br>{{ש}}הקבוצה <math>\ A </math> לא -ריקה - למשל, <math>\ 0\in A </math> .</br>{{ש}}
הקבוצה <math>\ A </math> חסומה מלעיל - למשל ע"י <math>\ a+1 </math> , לכן מאקסיומת השלמות קיים לה סופרמום. נסמנו <math>\ M </math> .</br>{{ש}}
א) נניח ש- <math>\ M^n< a </math> : במקרה זה, כמו בדוגמהבדוגמא שראינו למעלה, ניעזר במשפט שראינו קודם: קיים <math>\ M_1 \in\mathbb{R} </math> המקיים: <math>\ M^n<M_1^n<a</math>
<math>\ M \Leftarrow M<M_1 \ \Leftarrow M^n<M_1^n<a</math> אינו סופרמום (יש בקבוצה איבר שגדול ממנו) <math>\ M^n \ \Leftarrow </math> אינו קטן מ- <math>\ a </math> , כלומר <math>\ M^n \ge a </math> .</br>{{ש}}
ב) נניח ש <math>\ M^n>a </math> : ושוב, כמו בדוגמא למעלה ובהסתמך על משפט הצפיפות, קיים מספר <math>\ M_2\in\mathbb{R} </math> המקיים <math>M\Leftarrow aM_2<M\Leftarrow a<M_2^n<M^n</math> אינו סופרמום של <math>A</math> (כי קיים לקבוצה חסם מלעיל שקטן ממנו) <math>M^n\le a</math> .{{ש}}
<math>\ M\Leftarrow M_2<M \ \Leftarrow </math> אינו סופרמום של <math>\ A </math> (כי קיים לקבוצה חסם מלעיל שקטן ממנו) <math>\ M^n\le a </math>.</br>
א+ב
<math>M^n=a\ \leftLeftarrow( M^n\le a \right) \wedge \left( M^n\ge a \right)\ \Leftarrow </math> ▪ (לקיום){{ש}}
(נזכור, כבדרך אגב, ש- <math> \ M</math> ''גדול ממש'' מ- <math> \ 0 </math> , וזאת משום ש- <math> \ a</math> ''גדול ממש'' מ- <math> \ 0 </math> , לכן בין <math> \ 0 </math> לבין <math> \ M </math> יש מספר). </br>{{ש}}▼<math>\ M^n=a \ \Leftarrow </math> ▪ (לקיום)</br>
<u>הוכחת היחידות</u>: יהיו <math> \ x_1,x_2 ,x_1 </math> מספרים כנ"ל, כלומר המקיימים: <math> \ \left( x_1 \right) ^n = \left( x_2 \right) ^n =a </math> , ונראה ש- <math> \ x_1=x_2 </math> : </br>{{ש}}▼▲(נזכור, כבדרך אגב, ש- <math>\ M</math> ''גדול ממש'' מ-<math>\ 0 </math>, וזאת משום ש- <math>\ a</math> ''גדול ממש'' מ-<math>\ 0 </math>, לכן בין <math>\ 0 </math> לבין <math>\ M </math> יש מספר).</br>
נניח בלי הגבלת הכלליות (האם אתם זוכרים מהו פירוש "בלי הגבלת הכלליות" ומבינים מדוע ניתן להשתמש כאן בביטוי זה?) ש- <math> \ x_1<x_2 </math> . נעלה את הביטוי בריבוע: נזכור ששני האגפים הם חיוביים, לכן סימן אי-השיוויון נשמר. נקבל: <math> \ \left( x_1 \right) ^2< \left( x_2 \right) ^2 </math> . </br>{{ש}}▼▲<u>הוכחת היחידות</u>: יהיו <math>\ x_2,x_1 </math> מספרים כנ"ל, כלומר המקיימים: <math>\ \left( x_1 \right) ^n = \left( x_2 \right) ^n =a </math>, ונראה ש- <math>\ x_1=x_2 </math>:</br>
נכפול כעת את אגף שמאל ב- <math>x_1</math> , ואת אגף ימין ב- <math>x_2</math> . נקבל: <math>(x_1)^3<(x_2)^3</math> .{{ש}}
▲נניח בלי הגבלת הכלליות (האם אתם זוכרים מהו פירוש "בלי הגבלת הכלליות" ומבינים מדוע ניתן להשתמש כאן בביטוי זה?) ש- <math>\ x_1<x_2 </math>. נעלה את הביטוי בריבוע: נזכור ששני האגפים הם חיוביים, לכן סימן אי-השיוויון נשמר. נקבל: <math>\ \left( x_1 \right) ^2< \left( x_2 \right) ^2 </math>.</br>
נכפולנחזור כעתעל את אגף שמאל ב-הפעולה <math>\ x_1 n</math> פעמים, ואתעד אגףשלבסוף ימין ב-נקבל: <math>\ (x_1)^n<(x_2 )^n</math> . נקבל:יצאנו <math>\מהנחה \left(הפוכה x_1והגענו \right)לסתירה ^3< \left(ר' x_2הערה \rightלמטה) ^3 </math>.x_1=x_2\Leftarrow</brmath> ▪
נחזור על הפעולה <math>\ n </math> פעמים, עד שלבסוף נקבל: <math>\ \left( x_1 \right) ^n< \left( x_2 \right) ^n </math>. יצאנו מהנחה הפוכה והגענו לסתירה (ר' הערה למטה) <math>\ x_1=x_2 \ \Leftarrow </math>▪ </br>
הערה: כמה מילים לגבי שיטות הוכחה:
*על פניו, הוכחה אמורה להיראות כך: נתון <math>\ p </math> , אנו רוצים להוכיח את <math>\ q </math> , כלומר אנו רוצים להוכיח: <math>\ q\Leftarrow p </math> , (כאשר p<math>\ p </math> ו- <math>\ q </math> מסמלים משפטים, טענות לוגיות וכוליוכו'). איך נעשה זאת?
לכאורה, אין פשוט מכך: נראה ש- <math>\ q </math> נובע מ- <math>\ p </math> (או ש- <math>\ p </math> גורר את <math>\ q </math>). אבל, בהוכחות כמו ההוכחה האחרונה, הראינו בעצם ששמתקיים:
<math>(*)(\sim p)\Leftarrow(\sim q)</math> . כלומר: העובדה ש- <math>q</math> לא מתקיים גוררת את העובדה שגם <math>p</math> אינו מתקיים. ואם הוכחנו את <math>(*)</math> - סיימנו את ההוכחה. ומדוע זאת?{{ש}}
<math>\ (*) \left( \sim p \right) \Leftarrow \left( \sim q \right) </math>
.נניח ש- <math>p</math> מתקיים (זהו הנתון), כלומר:ונניח העובדהבשלילה ש- <math>\ q </math> לא מתקיים. גוררתאבל, אתלפי העובדההטענה שגםשהוכחה <math>\(*)</math> p, אם <math>q</math> אינולא מתקיים. ואם<math>p\Leftarrow</math> הוכחנולא אתמתקיים - וזוהי סתירה לנתון ש- <math>\p</math> כן מתקיים! לכן, הוכחת <math>(*) </math> -שקולה סיימנולהוכחת אתהטענה ההוכחההמקורית. ומדוע זאת?</br>{{ש}}
*הוכחה בשלילה: כפי שראיתם, השתמשנו בשיטה זו רבות בפרק זה, ואתם תיתקלו בה גם בפרקים הבאים של קורס זה, ולמעשה בכל ענף במתמטיקה. שיטה זו מבוססת על ההנחה, שטענה מסויימת <math> \ p </math> יכולה או להתקיים או שלא להתקיים, ולא יתכן מצב אחר. לכן, אם אנו מניחים שהיא מתקיימת ומגיעים לסתירה, אנו יכולים להסיק שהטענה אינה מתקיימת. זוהי שיטה יעילה מאוד, ואין ספק כי היא תהיה לכם לעזר רב בהמשך. ▼נניח ש-<math>\ p </math> מתקיים (זהו הנתון), ונניח בשלילה ש-<math>\ q </math> לא מתקיים. אבל, לפי הטענה שהוכחה <math>\ (*) </math>, אם <math>\ q </math> לא מתקיים <math>\ p \Leftarrow</math> לא מתקיים - וזוהי סתירה לנתון ש-<math>\ p </math> כן מתקיים! לכן, הוכחת <math>\ (*) </math> שקולה להוכחת הטענה המקורית.</br>
▲*הוכחה בשלילה: כפי שראיתם, השתמשנו בשיטה זו רבות בפרק זה, ואתם תיתקלו בה גם בפרקים הבאים של קורס זה, ולמעשה בכל ענף במתמטיקה. שיטה זו מבוססת על ההנחה, שטענה מסויימת <math>\ p </math> יכולה או להתקיים או שלא להתקיים, ולא יתכן מצב אחר. לכן, אם אנו מניחים שהיא מתקיימת ומגיעים לסתירה, אנו יכולים להסיק שהטענה אינה מתקיימת. זוהי שיטה יעילה מאוד, ואין ספק כי היא תהיה לכם לעזר רב בהמשך.
סיימנו את פרק המבוא. כדי לתרגל, אתם מוזמנים להיכנס ל[[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגולים|תרגולים]] על מנת לעכל את החומר טוב יותר. לאחר מכן, תוכלו לנסות לפתור בעצמכם את ה[[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגילים|תרגילים לעבודה עצמית]], על מנת לתרגל את החומר.
| 