מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 7:
*אין אף פתרון (במספרים ממשיים) כלומר, אין אף מספר שניתן להציב במקום <math>x</math> שעבורו נקבל פסוק אמת.
ניתן לפתור כל משוואה ריבועית או לפחות להגיע לקביעה שאין פתרון ממשי. הפתרון מתבסס על הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית שעליה נדבר בהמשך. הנוסחא היא הדרך ה'''בטוחה''' לפתור כל סוג של משוואה ריבועית אך היא אינה הדרך הקצרה ביותר או הפשוטה ביותר. במקרים רבים קל יותר לנצל את [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום|הטרינום הריבועי]] על-מנת לפתור את המשוואה בדרך מהירה יותר. נדגים את שתי השיטות בהמשך על המשוואה הריבועית
<center><math>x^2+5x-14=0</math></center>▼
▲<math>x^2+5x-14=0</math>
▲אך ראשית נסביר את הבעייתיות שמופיעה מרגע שנוספת חזקה שניה של הנעלם למשוואה.
לפני שנתחיל לעבוד על משוואה ריבועית עלינו לסדר אותה, כלומר להעביר את כל
<center><math> =מציאת פתרונות למשוואה ריבועית=
שורה 20 ⟵ 19:
ראשית, נזכיר מהו שורש ריבועי. שורש ריבועי הינו הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע כלומר, השורש של מספר הוא המספר שאותו, אם נעלה בריבוע נקבל את המספר המקורי. לפרטים נוספים חזור לפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חזקות ושורשים|חזקות ושורשים]].
עלינו לשים לב שכאן ישנו מלכוד משום שלמעשה ישנם שני מספרים '''שונים''' אשר יכולים להוות שורש של מספר אחר. למשל במקרה של המספר 81, המספרים <math>9</math> וגם <math>-9</math> שניהם יכולים להיות השורש. במתמטיקה נהוג לבחור באופן שרירותי את הפתרון החיובי אך במשוואות עלינו להיות מדויקים יותר, שכן גם <math>-9</math> וגם <math>9</math> הם שורשים של 81.
כיון שכך, עלינו לשים לב שבפעולת הוצאת השורש אנו לא מאבדים פתרונות. על כן, אם נתונה המשוואה:
<center><math>x^2=81</math></center>
<math>x^2=81</math>▼
הפתרון הוא:
<center><math>x_{1,2}=\pm 9</math></center>▼
▲<math>x_{1,2}=\pm 9</math>
ו'''לא''', כפי שתלמידים רבים טועים: <math>x=9</math> .
==פתרון על-ידי הטרינום הריבועי==
נחזור למשוואה שהצגנו בראש העמוד. נתחיל את פתרון המשוואה בפירוק הטרינום לבינומים כפי שהוצג בפרק ה[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום|טרינום הריבועי]]. לאחר חישוב מתקבל:
<center><math>x^2+5x-14=(x+7)\cdot(x-2)</math></center>▼
▲<math>x^2+5x-14=(x+7)\cdot(x-2)</math>
ביטוי זה אינו המשוואה שאנו מעונינים לפתור. זהו רק אגף שמאל שלה, אשר פרקנו לגורמים בעזרת פירוק טרינום. במשוואה המקורית כתוב שאגף ימין שווה ל-0 כלומר
<math>x^2+5x-14=0</math>▼
או במילים אחרות
נמשיך בפתרון כפי שעשינו ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות|פרק הקודם]]. נחלק את המשוואה למקרים.
#<math>x+7=0\ \Rightarrow\ x_1=-7</math>
#<math>x-2=0\ \Rightarrow\ x_2=2</math>
ואז הפתרון של המשוואה המקורית שלנו הוא:{{ש}}
<math>x_1=-7,x_2=2</math>
שורה 57 ⟵ 46:
נשתמש כעת בנוסחא זו על-מנת לפתור את המשוואה שפתרנו בעזרת הטרינום. במקרה זה <math>a=1,b=5,c=-14</math> . נציב את הערכים הללו בנוסחא ונקבל:
<center><math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot(-14)}}{2\cdot 1}</math></center>▼
▲<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot(-14)}}{2\cdot 1}</math>
כאן מפרידים לפלוס ולמינוס ומקבלים:
<center><math>x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot(-14)}}{2\cdot 1}=\frac{-5+\sqrt{25+4\cdot 14}}{2}=\frac{-5+\sqrt{81}}{2}=2</math>▼
▲<math>x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot(-14)}}{2\cdot 1}=\frac{-5+\sqrt{25+4\cdot 14}}{2}=\frac{-5+\sqrt{81}}{2}=2</math>
<br>
<math>x_2=\frac{-5-\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot(-14)}}{2\cdot 1}=\frac{-5-\sqrt{25+4\cdot 14}}{2}=\frac{-5-\sqrt{81}}{2}=-7</math></center>
והגענו בדיוק לאותם פתרונות שהגענו בדרך של הטרינום. קל לראות שהדרך של הטרינום היא קצרה בהרבה מהדרך של הנוסחא אך זו נחמה פורתא משום שהדרך של הטרינום אינה עובדת בחלק נכבד מהמקרים ובמקרים אלו נאלץ להשתמש בשיטה של הנוסחא.
שורה 75 ⟵ 60:
:נחלק את המשוואה ב- <math>a</math> ונקבל:
<center><math>x^2
:נחסר את הביטוי <math>\frac{c}{a}</math> משני האגפים:
<center><math>x^2+
עכשיו נשתמש בהשלמה לריבוע ונהפוך את אגף שמאל לביטוי ריבועי:
:תחילה נפשט את הביטוי <math>\frac{b}{a}x</math> כך: <center><math>\frac{b}{a}x=\frac{b}{2a}x+\frac{b}{2a}x=2\
:ונציב במשוואה הראשית:
<center><math>x^2+2\
:וכדי להשלים את הריבוע סופית באגף שמאל נוסיף את הביטוי הריבועי <math>\left(\frac{b}{2a}\right)^2</math> לשני האגפים:
<center><math>x^2+2\
עתה ניתן להפוך את אגף שמאל כולו לביטוי ריבועי פשוט (מוכר לכם?)
שורה 145 ⟵ 130:
=סימון=
{{להשלים}}
| |||