מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 15:
<math>a^2+2abi-b^2=9-40i</math>
 
יש לנו שני משתנים <math>a, b</math> . כפי שהדגמנו בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/משוואות עם מספרים מרוכבים|משוואות עם מספרים מרוכבים]], עלינו להשוואות בין המספרים המדומים ובין המספרים הממשים. כלומר יש לנו שתי משוואות:
 
<math>\begin{cases}a^2-b^2=9\\2abi =-40i\\ \end{cases}</math>
<math>
\begin{cases}
a^2-b^2=9\\
2abi =-40i\\
\end{cases}
</math>
 
נחלץ את אחד מהנעלמים:
 
<math>\begin{align}2abi =-40i\\2ab =-40/:2b\\a=\frac{-20}{b}\\ \end{align}</math>
<math>
\begin{align}
2abi =-40i\\
2ab =-40/:2b\\
a=\frac{-20}{b}\\
\end{align}
</math>
 
נציב במשוואה הראשונה:
 
<math>\begin{align}a^2-b^2=10\\ \frac{-20}{b}^2-b^2=10\\ \frac{400}{b^2}-b^4=10\\400-b^4=10b^2\\b^4+10b^2-400=0\\ \end{align}</math>
<math>
\begin{align}
a^2-b^2=10\\
\frac{-20}{b}^2-b^2=10\\
\frac{400}{b^2}-b^4=10\\
400-b^4=10b^2\\
b^4+10b^2-400=0\\
 
נעזר בנוסחת השורשים <math>(b^2-25)(b^2+16)=0</math> ונקבל <math>b=\pm4</math>
\end{align}
</math>
 
נעזרנמצא בנוסחת השורשיםאת <math>(b^2-25)(b^2+16)=0a</math> ונקבלבאמצעות הצבת <math>b=4\pm ,\ b=-4</math>
 
<math>\begin{align}a=\frac{-20}{4}\\a=-5\\a=\frac{-20}{-4}\\a=5\\ \end{align}</math>
נמצא את <math>a</math> באמצעות הצבת <math>b= 4 \ \ \ \ \ b=-4</math>
 
פתרון : <math>Zz=5-4i</math> או <math>Zz=-5+4i</math>
 
<math>
\begin{align}
a=\frac{-20}{4}\\
a=-5\\
a=\frac{-20}{-4}\\
a=5\\
\end{align}
</math>
 
פתרון : <math>Z=5-4i</math> או <math>Z=-5+4i</math>
 
}}
שורה 86 ⟵ 58:
<math>z_{1,2}=\frac{-1-2i\pm(3+2i)}{2}</math> ונקבל את שני הפתרונות:
 
<math>z_1=1\ ,\ z_2=(-2-2i)</math>
 
==נוסחאות וייטה==
שורה 93 ⟵ 65:
נוסחאות וייטה עוסקות בצורה של סכום ומכפלה של שני הפתרונות של משוואה ריבועית. מסתבר שכדי לדעת את הסכום והמכפלה די לדעת את מקדמי המשוואה. נראה זאת.
 
תהא <math> az^2+bz+c</math> משוואה ריבועית. על -פי הנוסחה הכללית לפתרון המשוואה, שני הפתרונות הם:
 
<math>z_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ ,\ z_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
שורה 104 ⟵ 76:
 
קיבלנו את שתי נוסחאות וייטה:
 
#<math>z_1+z_2=-\frac{b}{a}</math>
#<math>z_1\cdot z_2=\frac{c}{a}</math>